Combinaisons linéaires

[Jerem7871]

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[Ben314]

(re)salut,
C'est (à mon sens) LE problème compliqué de l'algèbre linéaire (et plus généralement de tout ce qu'on fait au début du post-bac) : quand on a le recul (par exemple quand on est prof...), ben de savoir si w=(1,3,8) s'écrit en fonction de u1 et u2 OU BIEN de savoir si w=(1,k,-2) s'écrit en fonction de u1 et u2, c'est la même chose, mais quand on est étudiant, ça semble super plus compliqué avec un k.

Pour essayer de te laisser trouver absolument tout seul, commence par regarder (1,0,-2) (par exemple) s'écrit ou pas en fonction de u1 et u2 (ça tu sait le faire).
Ensuite, recopie très exactement les lignes de calculs que tu as faite sauf qu'à la place du 0 tu met k(et bien sûr, si tu as calculé à un moment donné 3x0+5 en disant que ça fait 5, ben à la place tu va écrire que 3k+5 ça fait... 3k+5).
Enfin, tu regarde à quel moment ça t'a réellement été utile de savoir que k était en fait égal à 3.

Faut-il trouver une valeur exacte de k ou une valeur en fonction des équations ?

La question, c'est "Quelle sont les valeurs de k telles que le vecteur (1,k,-2) soit combinaison linéaire de (1,3,8) et (2,4,5) ?"
Et le fait que (1,k,-2) soit (ou ne soit pas) combinaison linéaire de (1,3,8) et (2,4,5), ben ça dépend évidement de k et uniquement de k (je vois pas de quoi d'autre ça pourrait dépendre vu qu'il n'y a rien d'autre comme "lettre" dans l'énoncé.
Donc la réponse, c'est forcément du type "les k qui marchent c'est ...." (avec deux léger cas particulier qui sont "des k qui marchent, ben y'en a pas" et "ben en fait, ça marche pour n'importe quel réel k")

[Jerem7871]

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[Ben314]

A mon avis, au moins quand on débute, le système en question, ben il ne faut jamais l'écrire "tout seul" mais systématiquement le faire précéder de "il existe et tels que" en le recopiant conciencieusement à chaque ligne pour ne pas perdre de vue le "fil" de ce qu'on veut montrer :

Exemple de rédaction :
Le vecteur (a,b,c) est combinaison linéaire de u1 et u2
il existe et tels que
il existe et tels que ...
.
.
.
il existe et tels que

Vu que la phrase "il existe tel que " est évidement vraie (idem pour )

Et pour bien te montrer que le but du jeu, c'est d'éliminer le " il existe et tels que...", je peut te proposer une autre rédaction :
Le vecteur (a,b,c) est combinaison linéaire de u1 et u2
il existe et tels que
il existe et tels que
il existe tels que
(clairement, pour qu'il existe un alpha égal à la fois à truc, à bidule et à machin, ben faut que les 3 soient égaux)
il existe tels que
(attention au fait que A=B=C ça traduit que deux égalités et pas trois : une fois qu'on a écrit A=B et A=C, ça sert à rien de rajouter A=C vu que ça se déduit des deux autres)

[Jerem7871]

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[pascal16]

méthode qui ne tient pas compte des cas particuliers :
avec les deux première lignes, tu résous le système 2x2.
(tu as déjà beta = -b + 2a qui est bon)
tu injectes la solution dans le 3ieme ligne qui doit être vérifiée, elle t'impose des liens entre a, b et c.

[Ben314]

Effectivement, ça risque d'être ça, sauf que... tu t'en fout de la valeur de alpha et beta vu que la question c'était "quels sont les a,b,c tels que...")

Là, si tu résoud ton équation comme si a,b,c étaient connus, tes trois équations de départ deviennent alpha=... ; beta=... (en fonction de a,b,c) plus une troisième qui ne contient ni alpha, ni beta.
Et là, il ne faut pas oublier que LA question, c'est "existe t-il alpha et beta vérifiant ces trois truc là ?".
Les deux première équations sont faciles à interpréter : elles semblent dire que oui, de tels alpha et beta existent (il suffit de les prendre égaux à ce qu'il y a de marqué derrière le =).
Par contre, la troisième équation, quand on a pas l'habitude, ça semble franchement être "une question à la con", vu que la question, c'est très exactement celle là :
Existe-t-il alpha et beta tels que 3a+5b-7c= 0 ? (ou un truc du même style)
Et là, ben faut bien comprendre le truc que je t'ai dit au début : si on te demande "pour quels X a-t-on 3X+2=(X+1)+(2X+5)" (qui ne dépend en fait pas de X), la réponse est "aucun" et par contre si on te demande "pour quels X a-t-on 3X+2=(X+1)+(2X+1)" alors la réponse est "pour n'importe quel X".
Ben là, c'est pareil, face à la question Existe-t-il alpha et beta tels que 3a+5b-7c= 0 ? la réponse c'est :
Si 3a+5b-7c est différent de 0 alors il n'y aura aucun alpha et beta qui marchent (donc pas de solution au système), par contre, si 3a+5b-7c est égal à 0 alors cette équation sera vrai pour n'importe quel alpha et n'importe quel beta (donc le système sera réduit aux deux premières équation alpha=... et beta=... et il y aura clairement une unique solution pour alpha et beta).
Bilan : le système admet (au moins) une solution si et seulement si 3a+5b-7c=0.

Et sinon, je te le redit, pour bien comprendre le truc, ce qu'il faut faire c'est de le faire plein de fois avec des "vraies valeurs" pour a,b,c pour constater qu'à chaque fois tu tombe sur deux équation alpha=.... ; beta=... plus une troisième qui dit soit un truc de la forme 5=5 (donc un truc vrai et l'équation sert à rien) soit un truc de la forme 3=7 (donc un truc faux et on pourra bien prendre alpha et beta comme on veut, ça rendra jamais 3 égal à 7...)

[pascal16]

On peut aussi calculer le produit vectoriel de u1 et u2 pour avoir un vecteur normal n au plan engendré par u1 et u2.
Il y a une solution si le vecteur (a;b;c) est dans ce plan, c'est à dire si son produit scalaire avec n est nul.

cette solution de géométrie analytique met en évidence tous les sous cas possibles dans d'autres situations et est ultra rapide, on ne fait aucun système. Il faut par contre avoir vu les espaces vectoriel ou au minimum se rendre compte que le le vecteur (a;b;c) peut être décomposé avec u1 et u2 s'il est dans le plan engendré par u1 et u2.

[Ben314]

En terme de "rapidité", je suis pas du tout convaincu par le "ultra rapide", mais évidement ça dépend de comment on compte la "rapidité".
Si on compte (comme ça me vient à l'esprit avec mon coté informaticien) en terme de nombre d'addition et de multiplication, je pense que la résolution du système est plus rapide que le calcul du produit vectoriel des deux vecteurs (on peut compter le nombre d'opérations si ça t'amuse...)

[pascal16]

un produit vectoriel s'écrit sur un timbre poste, quand au produit scalaire, il ne prend pas plus de place que celle prise pour écrire le résultat.
Chacun ensuite va plus vite ou comprend mieux l'une ou l'autre des façons de faire.

[Jerem7871]

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[pascal16]

si les deux équations sont les mêmes, les vecteurs sont colinéaires. Ils engendrent une droite au lieu d'un plan. Seuls les vecteurs proportionnels à l'un des deux vecteurs sont solution.

[Ben314]

A mon avis, au moins quand on débute, le système en question, ben il ne faut jamais l'écrire "tout seul" mais systématiquement le faire précéder de "il existe et tels que" en le recopiant conciencieusement à chaque ligne pour ne pas perdre de vue le "fil" de ce qu'on veut montrer :

Exemple de rédaction :
Le vecteur (a,b,c) est combinaison linéaire de u1 et u2
il existe et tels que
il existe et tels que ...
.
.
.
il existe et tels que

Vu que la phrase "il existe tel que " est évidement toujours vraie, quelque soient les valeurs de (idem pour )

Et pour bien te montrer que le but du jeu, c'est d'éliminer le " il existe et tels que...", je peut te proposer une autre rédaction :
Le vecteur (a,b,c) est combinaison linéaire de u1 et u2
il existe et tels que
il existe et tels que
il existe tels que
(clairement, il existe un alpha égal à la fois à truc, à bidule et à machin, ssi truc=bidule=machin)
il existe tels que
(attention au fait que A=B=C ça traduit en fait que deux égalités et pas trois : une fois qu'on a écrit A=B et B=C, ça sert à rien de rajouter A=C vu que ça se déduit des deux autres)