Coefficients binomiaux et arithmétique

[guillaume100]

Bonjour ,

Cet exercice est plus dur que ce que je pensais
Soit n un entier naturel non nul et k un entier compris entre 0 et n.

Comment montrer que les nombres :

k parmi n, k parmi (n+1), k parmi (n+2) ... jusqu’à k parmi (n+k) sont premiers entre eux dans leur ensemble ?

Merci bien!

[Ben314]

Salut,
Si un nombre entier divise , alors il divise évidement qui sont en fait égaux à . . .
(grâce à la formule "de base" permettant d'écrire le triangle de pascal)

[guillaume100]

Bonjour,

Ces nombres sont égaux à, selon la formule de Pascal:

; ; ; jusqu’à

Ce qui se ramène au cas précédent pour k-1 au lieu de k, mais le même n.

Si je pose comme hypothèse de récurrence celle de l’énoncé pour un k fixé, alors:
L’initialisation consiste à remarquer que 1 est divisible par 1 ou -1 seulement et le pgcd des nombres vaut alors 1.
L’hérédité est montré grâce à la remarque et l’hypothese de récurrence.

Merci beaucoup !

[Ben314]

Sinon, une autre méthode "directe", ça consisterais à montrer que, ce qui peut se faire en utilisant la formule du binôme de newton (mais c'est un peu astucieux . . .)

[guillaume100]

En essayant j’ai développé avec la formule du binôme de Newton :

et la je réutilise la formule du binôme de Newton sur 2 puissance i en disant que 2=1+1, je n’ai plus de 2 mais j’ai une double somme

Comment faire apparaître k ? En élevant à la puissance n+k au lieu de n au début ? Et comment réduire la double somme amenée par le 2 en une seule somme indexée par i?

Je crois que je vois pas l’astuce là

[guillaume100]

Bonsoir,
En étudiant un peu plus j’ai essayé de transformer k parmi n en factorielle mais ça n’amene Pas la solution
Si quelqu’un a une idée je suis preneur !

[Ben314]

Une des façons de procéder, c'est de dire que c'est le coefficient en du polynôme .
Donc c'est le coefficient en du polynôme .

Dont le coeff. en est évidement égal à 1.

[guillaume100]

Bonjour !

Merci bien pour la réponse

Lier coefficients binomiaux et coefficients devant un polynôme ça marche du tonnerre