[mpsi] coefficients binomiaux

[ghghgh]

Bonjour, je dois savoir faire ces calculs :

somme( k=0,n; k ),
somme( k=0,n; k^2 ),
somme( k=0,n; ),
somme( k=0,n; ),
ainsi que
somme( k=0,n; (-1)^k ),
somme( k pair; ).

les deux premiers j'arrive à les faire.

par contre, les suivant non, pourrais-je avoir un peu d'aide ? :)

Merci beaucoup !

[ghghgh]

je crois savoir comment faire pour la troisième, j'utilise la définition sous forme de factorielle de (n,k), ça me donne donc :

(k,p)*(n,k) = k!/(k-p)!*p! * n!/(n-k)!* k!
= n!/(n-p)!*p! * (n-p)!/(k-p)!(n-k)!
=(n,p) * (n-p, k-p)

(n,p) dépend pas de k, je le sors, et ça me donne
(n,p) * somme de k = 0 à n (n-p, k-p)

d'où cette somme = (n,p)*2^(n-p).


pour la somme de k = 0 à n des (n, k) avec k paire je trouve :

paires + impaires = 2^n
paires - impaires = 0^n

d'où sommes des coeffs avec k pair = 2^(n-1)

et pour k impair la somme vaut 2^(n-1)

ai-je juste ?

[mathelot]

bjr,

quelques indications , nécéssairement incomplètes:




1 ) développer f, dériver membre à membre, faire x=1

2) développer f, dériver deux fois. Il apparait les facteurs
faire x=1
écrire ensuite

5) développer f, faire x=-1
en additionnant f(1)+f(-1), ça donne la somme des termes de rang pair

3)



On fait le produit de ces deux polynomes
On identifie avec le polynôme

[Doraki]

Il reste donc juste la 4ème, somme( k=0,n; ) ?

Tu peux simplifier <0,p+1> + <0,p> + <1,p> + <2,p> + ... + ?

[mathelot]

re,

j'ai lu quelque part (c très vague dans mon esprit) qu'il existait une méthode de démonstration automatique de ce genre d'identités binomiales. Quelqu'un en sait plus ?

[Doraki]

"une méthode de démonstration automatique" c'est plutôt vague.

Mais tu devrais trouver des trucs intéressants par là : http://algo.inria.fr/chyzak/mgfun.html
Si je me souviens bien, ça devrait résoudre tous ces trucs, et bien d'autres choses.