Coefficient binomial

[mehdi-128]

Bonjour,

Soit n un entier naturel non nul.

Comment montrer que :

J'ai écris :

Mais après je vois pas.

[nodgim]

J'ai envie de te demander si c'est une blague, là.....

Il faut démontrer que le nombre de combinaisons de n éléments pris parmi 2n éléments est >= 1 ??

[Kolis]

Il me semble, sur un autre forum, que tu savais montrer les inégalités lorsque ?

[pascal16]

toutes les fractions sont >1, donc de produit >1 sauf dans la cas n=1

[aviateur]

Bonjour
Je dirai aussi comme Nogdim. La question est vraiment étonnante. Certes la minoration est vraie mais en mathématiques on préfère des minorations les plus optimales possibles que des minorations aussi grossières.
A savoir est le nombre de sous-ensembles de p éléments d'un ensemble de n éléments, on a toujours qui vaut au moins 1.
De plus et on est loin de comprendre pourquoi on te pose cette question.

[LB2]

Bonjour,

Soit n un entier naturel non nul.

Comment montrer que :

J'ai écris :

Mais après je vois pas.

En fait, on peut faire beaucoup mieux comme minoration.
Sur la 2n-ième ligne du triangle de Pascal, le coefficient est le plus grand de la ligne!
Vérifie le en écrivant les premières lignes du triangle de Pascal.
Pour n=1;2;3;4 on trouve les nombres 2;6;20;70 ce qui croît quand même assez vite.

Si tu appelles ce nombre et que tu écris la relation de récurrence entre et , on a (démontre le!) , ce qui est presque aussi grand que la croissance de la suite géométrique .

On pourrait de façon élémentaire, par récurrence grâce à cette relation que pour 1 < a <4, par exemple. (et même mieux : )

Si tu cherches un équivalent de , aviateur t'a donné la réponse (cela utilise la formule de Stirling)

[mehdi-128]

J'avais pas pensé à la combinatoire

Merci pour vos réponses mais je voulais pas m'attarder trop là-dessus, j'avance pas dans mes révisions mais c'était pour montrer que :



Pour montrer la convergence de la série

[mehdi-128]

@Kolis oui mais je vois pas trop le lien ici.

@Pascal pas trop compris ce que vous faites.

Je voulais simplifier

On peut pas dire que :

Donc :

Il suffit de montrer que par récurrence ?

[mehdi-128]

Bonjour,

Soit n un entier naturel non nul.

Comment montrer que :

J'ai écris :

Mais après je vois pas.

En fait, on peut faire beaucoup mieux comme minoration.
Sur la 2n-ième ligne du triangle de Pascal, le coefficient est le plus grand de la ligne!
Vérifie le en écrivant les premières lignes du triangle de Pascal.
Pour n=1;2;3;4 on trouve les nombres 2;6;20;70 ce qui croît quand même assez vite.

Si tu appelles ce nombre et que tu écris la relation de récurrence entre et , on a (démontre le!) , ce qui est presque aussi grand que la croissance de la suite géométrique .

On pourrait de façon élémentaire, par récurrence grâce à cette relation que pour 1 < a <4, par exemple. (et même mieux : )

Si tu cherches un équivalent de , aviateur t'a donné la réponse (cela utilise la formule de Stirling)

Je vois mais dans mon cas je n'ai pas besoin de précision.

[Lostounet]

Salut,

On peut pas dire que :
Donc :

ça c'est faux déjà pour n = 2...

(2n)!/(n!)^2 = (4)!/(2!)^2 = 4!/4 = 3!
Et 2^n/n! = 4/2! = 2

Bon, sinon tu veux montrer que

C'est à dire que tu veux montrer que
Au pire tu peux faire une récurrence (même si c'est pas absolument indispensable).

Pour l'hérédité, on souhaite montrer:

Cela nous incite à multiplier les deux membres des l'hypothèse de récurrence par [(n+1)]^2





Or, nous savons que , donc forcément vu que (4n^2 + 6n + 2) est toujours plus grand que (n+1)^2,

(4n^2 + 6n + 2) > (n+1)^2

Donc:

ce qui signifie que:


(sauf erreur quelque part)

Autre méthode: Vu qu'il existe au moins une manière de piocher n objets parmi 2n objets...

[mehdi-128]

@Lostounet

Bien vu

[mehdi-128]

toutes les fractions sont >1, donc de produit >1 sauf dans la cas n=1

Pourriez-vous expliquer comment vous obtenez ça ?

[pascal16]

(2n)! est le produit de tous les nombres de 1 à 2n
n! est le produit de tous les nombres de 1 à n

(2n)! /n! est le produit de tous les nombres de n+1 à 2n

(2n)! /(n!n!) est le produit de tous les nombres de n+1 à 2n divisé par le produit de tous les nombres de 1 à n

si on sépare la fraction on a :

((n+1) / 1) * ((n+2) / 2) * ( (n+3)/3)*........*((n+n)/n)

[mehdi-128]

Merci Pascal en effet c'était rapide votre méthode !

[pascal16]

version courte identique à la première réponse donnée : tout nombre du triangle de Pascal est >= 1 car vaut soit 1, soit une somme de nombres >=1.

[mehdi-128]

Oui je dois apprendre à trouver des solutions les plus courtes et simples possibles.