Coefficient binomial.

[Le_chat]

Salut!

J'aimerai démontrer que si on se donne p un nombre premier, r un entier, m un entier premier avec p et a un entier plus petit que r, le coefficient binomial .
J'ai essayé d'utiliser des polynomes dans Z/pZ, et des relations sur les binomiales type relation de pascal, mais rien n'a abouti. Je ne vois même pas pourquoi c'est vrai.

Merci d'avance pour toute suggestion.

[Doraki]

pour tout k entre 1 et p^a-1, on pose k = c(k) p^b(k) où c(k) n'est pas multiple de p.
comme b(k) < a <= r, on a l'égalité :
(p^(a-b(k))-c(k)) * (mp^r - k) = (mp^(r-b(k))-c(k)) * (p^a - k).

Donc quand on multiplie ton coefficient binomial par le produit des (p^(a-b(k))-c(k)), on obtient le produit des (mp^(r-b(k))-c(k)).
Or ces deux entiers sont tous les deux congrus au produit des -c(k) mod p, donc à la même chose.
Donc ton coefficient binomial est bien congru à 1 mod p.

[Le_chat]

Merci beaucoup Doraki!