Coeff binomial

[sad13]

Bonjour, on a :

n+1 premier
n+1=2m+1. m>=2

Je ne comprends pas ceci :

le coefficient binomial ( 2m+1 m) est l'un des termes centraux dans le développement binomial (1+1)^(2n+1) donc ( 2m+1 m) < 1/2*(1+1)^(2m+1)= 4^m.



ps (2m+1 m) : 2m+1 en haut et m en bas

[Le_chat]

Salut.

Quand tu écris (1+1)^2m+1 avec le binome, tu as une expression "symetrique" par rapport au coefficient central (2m+1 m) (si tu ne le vois pas, écris la formule du binome sur une feuille)

Donc (1+1)^2m+1=(2m+1 1)+(2m+1 2)+...+(2m+1 m)+(2m+1 m)+(2m+1 m-1)+...+(2m+1 2)+(2m+1 1)

En regroupant:
(1+1)^(2m+1)=2*((2m+1 1)+(2m+1 2)+...+(2m+1 m)+(2m+1 m))

Donc là tu peux conclure sans problème je pense :)

[sad13]

j'ai écrit le développement et on a : (1+1)^(2m+1) = (2m+1 0)+.........+(2m+1 2m+1)

et comme n+1=2m+1 , on en tire que : n=2m donc je ne comprends pas encore votre justification, dsl

[Le_chat]

Alors déjà, j'ai oublié un terme dans le coefficient du binome, pardon, ça commence bien à 0.

Tu es d'accord que (1+1)^2m+1=2(2*((2m+1 0)+(2m+1 1)+...+(2m+1 m)+(2m+1 m)) ?

[sad13]

non désolé

[sad13]

(1+1)^(2m+1) = (2m+1 0)+.........+(2m+1 2m+1)

[Le_chat]

Bon j'écris vraiment de la merde ce soir, je voulais dire:

(1+1)^2m+1=2((2m+1 0)+(2m+1 1)+...+(2m+1 m))

Donc en fait ta formule est la bonne mais comme tu as (n (n-k))=(n k) tu peux grouper les termes entre eux!

[sad13]

(1+1)^2m+1= (1+ (2m+1 1)+....................+1) puis je buggue dsl

j'ai utilisé (n n)=(n 0)=1

[Skullkid]

Comme te l'a dit Le_chat, les coefficients binomiaux sont "symétriques", dans le sens où k parmi n est égal à n-k parmi n. 0 parmi n est égal à n parmi n, 1 parmi n est égal à n-1 parmi n, etc. Le binôme de Newton pour (1+1)^(2m+1) donne une somme d'un nombre pair de coefficients binomiaux (2m+2), donc chaque coeff apparaît en fait 2 fois dans cette somme.

Tu n'as plus qu'à formaliser ça.

[sad13]

ok merci mais c'est plutôt " coefficients binomiaux (2m+1), "

[Skullkid]

Non, tu ne lis pas les réponses qu'on te donne. Ma réponse n'était pas "coefficients binomiaux (2m+2)", mais elle contenait "Le binôme de Newton pour (1+1)^(2m+1) donne une somme d'un nombre pair de coefficients binomiaux (2m+2)".

Je peux reformuler pour ton bon plaisir : "Le binôme de Newton pour (1+1)^(2m+1) donne une somme de 2m+2 coefficients binomiaux, qui est un nombre pair".