CNS sur déterminant d’une matrice de Mn(Q)

[Eagle2453]

Bonjour,
J’avoue avoir des (très grandes !!) difficultés pour trouver une condition nécessaire et suffisante sur le déterminant d’une matrice de Mn(Q) pour que celle ci soit inversible dans Mn(Q).
Si une âme charitable veut bien apaiser les souffrances d’un maths spe, elle sera accueillie à bras ouverts !

[jsvdb]

Salut
le déterminant non nul n'est pas ce que tu cherches ?
Et si une matrice de est inversible, rassures-toi, son inverse est forcément une matrice de .

[LB2]

Bonsoir,

es tu sur de ton énoncé?

Ce n'est pas plutot : "CNS pour sur le déterminant d'une matrice de Mn(Z) pour que son inverse (au sens de Mn(K)) soit dans Mn(Z) ) ?

Dans ce cas la CNS est : det(M) = +1 ou -1

[Eagle2453]

Non justement ça je l’ai prouvé dans Mn(Z), c’est bien dans Mn(Q) le problème

[Eagle2453]

Oui jsvb le déterminant est bien sûr non nul, mais je suppose que la question demande une CNS plus précise sinon c’est trivial, après tu as peut être raison dans le sens où on veut peut être me montrer qu’il n’y pas de CNS plus forte

[jsvdb]

Bah, c'est parce qu'une CNS est "triviale" qu'elle n'est pas précise.
Faire des maths ne consiste pas à se compliquer la vie dès qu'un truc paraît simple (j'ai des élèves en terminale qui sont des champions dans ce domaine; conclusion : le nombre de points faciles qu'ils loupent )

[Eagle2453]

Je suis totalement d’accord avec toi et dieu sait que je connais ce fléau dont tu parles !
Cependant je vois mal ma prof de spé me laisser tranquil après juste cette réponse la connaissant ...

[jsvdb]

Bah tu me la présentes et je vais la calmer

[Eagle2453]

Avec grand plaisir !!!

[Eagle2453]

Bonjour, Excusez moi JSVDB mais comment prouver proprement que l’inverse d’une matrice de Mn(Q) est dans Mn(Q) ? Merci d’avance

[GaBuZoMeu]

est un corps, n'est-ce pas ? Tout élément non nul y a un inverse, en particulier le déterminant de la matrice si celui-ci est non nul.

[Eagle2453]

Oui je suis d’accord mais le fait que le déterminant soit un rationnel n’implique pas que la matrice soit dans Mn(Q)

[GaBuZoMeu]

Tu connais peut-être une formule pour l'inverse d'une matrice qui fait intervenir le déterminant et la transposée de la matrice des cofacteurs ?

[Eagle2453]

Ah merci beaucoup je n’y aurais pas pensé ! Vous venez d’illuminer la soirée d’un jeune taupin !