CNS pour que f soit de classe C1

[legeniedesalpages]

Bonsoir je bloque sur cette démonstration:

Soit une fonction définie sur un ouvert de à valeurs dans .

Les propositions suivantes sont équivalentes:

a) La fonction est de classe .

b) Chaque dérivée partielle est définie et continue sur .

La démonstration proposée pour montrer que :

D'après le lemme de dérivation composante par composante, on peut supposer . Donc on peut supprimer l'indice .

Soit admettant des dérivées partielles qui dépendent continûment de . Montrons d'abord que est dérivable en tout point de c'est à dire

[CENTER][/CENTER]
avec .
Or toutes les dérivées partielles étant continues,

.

Or posant pour , on a

avec

(déjà ici, pour que ce soit cohérent je pense que l'auteur a oublié de poser )

Or d'après la formule des accroissements finis, il existe dans tel que

[CENTER].[/CENTER]

En tenant compte de on a donc . Comme ceci est vrai pour tout , on en déduit , donc est dérivable.

La formule
[CENTER] pour tout de [/CENTER]
montre que dépend continûment de car chaque dépend continûment de .


Je ne comprends comment l'auteur applique le théorème des accroissements finis, déjà sur quelle fonction l'applique t'il?

Merci pour votre aide

[abcd22]

Bonsoir,

Je ne comprends comment l'auteur applique le théorème des accroissements finis, déjà sur quelle fonction l'applique t'il?

Il l'applique à la fonction qui est de classe C1 par hypothèse.
L'idée de la preuve, c'est qu'on a des majorations pour ||f(a+h) - f(a)|| dès que h est colinéaire à un des vecteurs de la base canonique de (ça marcherait aussi avec n'importe quelle autre base), donc pour majorer ||f(a+h) - f(a)|| pour h quelconque on décompose h dans cette base et pour aller de a à a + h on passe par un chemin qui suit les vecteurs de la base au lieu d'y aller directement en suivant h : on se déplace dans la direction de e_1, puis de e_2, ..., e_n.

[legeniedesalpages]

Bonsoir abcd,

ok mais alors à ce moment là ça voudrait dire que , et je ne vois pas pourquoi?

[legeniedesalpages]

si j'applique le théorème des accroissements finis sur ta fonction f, dans l'intervalle [0,1], je trouve,

il existe t dans [0,1] tel que

= la dérivée de la fonction que tu as donné en t (que je ne vois pas comment exprimer :hein: )

[abcd22]

C'est sur [0;h_k] qu'on applique les accroissements finis.

[legeniedesalpages]

ah d'accord merci, c'est vrai que ce bouquin est truffé de petites erreurs, c'est pas pratique.