CNS et projection

[Triniko]

Bonjour, en m'entrainant sur un exercice je bloque à une question qui m'empêche de continuer:

On a E un K espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme.
Le but est de trouver une CNS pour qu'il existe une projection p telle que u=p rond u-u rond p
Pourriez vous m'aider?

[Triniko]

En composant à droite par p on a: pup=0 mais bon c'est pas terrible.

[yos]

Bonsoir.
Cherche déjà une (des) CN. Par exemple que dire de la trace de u si un tel p existe?

[yos]

Mon idée était de prouver tr(u^k)=0 pour tout k>0, ce qui conduit à u nilpotente, mais je crois que ça suffira pas.
On a plus contraignant à partir de :



Puis ;
Mais là encore rien ne dit que c'est suffisant...

[leon1789]

En composant à droite par p on a: pup=0 mais bon c'est pas terrible.

Oui, j'aurais fait la même chose : composer à gauche et droite par p.
Puis exprimer cela avec des Im(p) et Ker(p)...

[yos]

Si , ça roule : on prend p une projection sur Imu et ça donne et , d'où la relation voulue.
Mais je n'ai montré que et là je n'ai pas le temps de chercher. Bon courage.

[yos]

C'est bien la CNS cherchée :
montre successivement que et enfin (pour cette dernière, calcule de deux façons à partir de u=pu-up, en composant par u tantôt à droite, tantôt à gauche).

[Maxmau]

Bj
ou alors matriciellement en diagonalisant le projecteur et en partageant les matrices en 4 blocs

[yos]

Bonne idée. Pour la CN, ça marche bien.