CNS pour un Ck difféomorphisme

par **Tcheby** » 15 Fév 2007, 14:36

Le prof nous a donné la CNS suivante pour démontrer qu'une fontion est un Ck difféomorphisme.
Je n'arrive pas à trouver une façon intuitive de me persuader de sa validité ni a en trouver une démonstration:

Soient
I et J deux intervalles de R
f un homéomorphisme de I sur J
Pour que f soit un difféomorphisme de classe Ck il faut et il suffit que
f soit de classe Ck
f' ne s'annule pas sur I

par **fahr451** » 15 Fév 2007, 16:27

et? donc ?

par **Tcheby** » 15 Fév 2007, 16:29

eh bien je cherche une démonstration ou une façon intuitive de comprendre la CNS...

par **fahr451** » 15 Fév 2007, 16:31

ah je vois ...

par **Tcheby** » 15 Fév 2007, 16:35

c gentil ^^

par **fahr451** » 15 Fév 2007, 17:03

je t 'en prie

par **mathelot** » 15 Fév 2007, 21:29

Pour l'aspect intuitif:
f est de classe

d'un intervalle I vers J.

f étant continue , J est un intervalle et f est surjective.
f est strictement monotone donc injective.
f réalise donc une bijection de I sur J.

Les courbes de

et

sont symétriques
par rapport à la 1ère bissectrice d'équation y=x. Elles ont donc les mêmes
propriétés topologiques. On s'attend donc que

soit

.

Pour la démo, on doit faire appel au thm des fonctions implicites:
si l'on pose: F(x,y)=y-f(x)
la relation F(x,y)=0 est équivalente à une relation

où

est de classe

et par définition,

CNS pour un Ck difféomorphisme

CNS pour un Ck difféomorphisme

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