CNS d'inversibilité

[Serru]

Bonjour,

J'ai un exercice à faire en DM pour la rentrée, tout s'est passé à peu près sans encombre jusqu'à la dernière question, mais là j'avoue que je coince... Voici l'énoncé complet :

Soit n un entier naturel non nul.
Pour tout couple (a,b) élément de K², on note N(a,b) la matrice (n,n) à coefficients dans K, dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à a, tous les autres étant égaux à b.

1) On note J la matrice N(1,1). Calculer J², puis J^k pour tout entier naturel k.
2) Soit p l'application linéaire canoniquement associée à la matrice P = 1/n * J. Démontrer que p est un projecteur de K^n et le caractériser géométriquement.
3) On note Q la matrice In-O : que peut-on dire de l'application linéaire q canoniquement associée à Q ?
4) F = {N(a,b) / (a,b) élément de K²}. Démontrer que F est un sev de Mn(K). Quelle est la dimension de F ?
5) Montrer qu'il existe une base B de F où figurent P, Q...
6) En utilisant cette base B, calculer le produit N(a,b)*N(alpha, beta) pour (a,b) et (alpha, beta) deux éléments de K². En conclure que F est une sous-algèbre de Mn(K).
7) Calculer (N(a,b))^k pour tout entier naturel k.
8) Donner une CNS sur (a,b) pour que N(a,b) soit inversible, et déterminer (N(a,b))^-1 dans ce cas.

Je ne sais pas trop quoi faire ici, un indice ne serait pas de refus... ^^"

[Maxmau]

Bj

Si P²=P , Q² = Q , PQ = QP = 0 , P + Q = I , P et Q différents de I
( xP + yQ)(x’P + y’Q) = xx’P + yy’Q
Si x et y non nuls ( xP + yQ)((1/x)P +(1/y)Q) = I
Si x ou y nul, ( xP + yQ) non inversible

[Serru]

Hin hin, mon expression de la base en fonction de P et Q était incomplète... Merci pour ton aide ^^

[Serru]

Oups, désolé pour le double post, mais...

Pour utiliser ceci, il faut d'abord prouver que les matrices P et Q ne sont pas inversibles, non ? Peut-on pour cela démontrer que leurs applications linéaires canoniquement associées ne sont pas bijectives ?

Edit : Est-ce correct de le démontrer ainsi ? (Ici 0 désigne le 0 de K^n)

poq est l'application nulle de K^n dans K^n, soit Im(q) inclus dans Ker(p).
Or, p n'est pas l'application nulle de K^n dans K^n, donc Im(q) est différent de {0}, donc Ker(p) est différent de {0}, soit p n'est pas injective.

p étant de ce fait non bijective, P n'est pas inversible.

De même, Im(p) est différent de {0} et Im(p) inclus dans Ker(q) car qop est l'application nulle, donc Q n'est pas inversible.