Choix de la définition d'un voisinage

[seriousme]

Bonjour,

un voisinage V d'un point x dans un espace topologique est tout sous-ensemble contenant un ouvert O contenant lui-même le point : .

Mais quelles sont les raisons qui ont amené cette définition ?

En particuliers pourquoi ne pas avoir défini un voisinage comme tout sous-ensemble contenant le point et contenu lui-même dans un ouvert : ?

Autrement dit quelles sont les conséquences topologiques de la première définition qui la rendent intéressante et que n'amène pas la seconde ?

Merci.

[legeniedesalpages]

Salut,

ta définition est beaucoup trop restrictive, si on choisit la tienne, tout singleton serait immédiatement un voisinage de (dans un espace topologique , est ouvert et ).
Pour tout ce qui est notion de limite ça pourrait être vachement embêtant.

[legeniedesalpages]

et même avec ta définition tous les sous-ensembles seraient des voisinages (toujours parce que E est ouvert), ce serait totalement inutile de définir un tel objet.

Cette notion de voisinage (définie normalement) permet d'exprimer facilement les notions topologiques comme la continuité, la séparation, la convergence de suite, les valeurs d'adhérence d'une suite, ....

[ThSQ]

Autrement dit quelles sont les conséquences topologiques de la première définition qui la rendent intéressante et que n'amène pas la seconde ?

La notion de voisinage est intéressante car elle permet, par exemple, de définir des espaces localement-trucbidulemachin (compact, connexe, ...) ce qui donne des renseignements intéressant sur un espace topologique.

[seriousme]

Merci de vos remarques.

En effet l'exemple du singleton voisinage de lui-même démontre le problème.

Cependant dans muni de la topologie discrète, les singletons étant ouverts, la définition d'un voisinage entraîne que est un voisinage de x.

Donc la notion de limite ne pourrait pas être bien définie dans cet espace topologique ?

[L.A.]

Bonjour.

Dans un espace muni de la topologie discrète, le fait qu'une suite converge vers x équivaut à dire que la suite est stationnaire en x.

dans Z par exemple, les suites convergentes sont stationnaires.

[busard_des_roseaux]

re,

*)

Pour la continuité de , comme on souhaite que l'image réciproque d'un ouvert contenant soit un voisinage de

et que l'on n'impose , en aucune manière , que l'application soit injective, un voisinage de peut contenir des points très éloignés de à cause du défaut d'injectivité.


**)
le voisinage est la bonne notion: si on en retient les 3 seules propriétés
axiomatiques, on obtient les filtres et les ultra-filtres
(cf Boubaki, Douady,..)
qui permettent de montrer par exemple qu'un produit de compacts est compact. la démo avec les filtres prend une demi-ligne.

[seriousme]

Dans un espace muni de la topologie discrète, le fait qu'une suite converge vers x équivaut à dire que la suite est stationnaire en x.

Ah oui, en effet.

les 3 seules propriétés axiomatiques

Lesquelles ?

[busard_des_roseaux]

cf "algèbre et théories galoisiennes" , Douady, Nathan, p16


Soit X un espace topologique. on appelle filtre sur X toute partie de P(X) satisfaisant aux conditions suivantes:

(F1) est stable par intersection finie
(F2) si et , alors g appartient à
(F3) l'ensemble vide n'appartient pas à .

exemple: pour tout x élément de X, l'ensemble des voisinages
de x est un filtre sur X.