[MPSI]cherche démonstration (groupes cycliques)

[Anonyme]

Bonjour,

les groupes cycliques sont commutatifs, mais je sais pas comment le
démontrer, vu que mon prof n'a pas mis la démonstration dans le cours.

Est-ce que quelqu'un pourrait me dire comment faire (ou au moins me donner
une petite aide pour me lancer) ?

merci beaucoup
a+

[Anonyme]

> les groupes cycliques sont commutatifs, mais je sais pas comment le
> démontrer, vu que mon prof n'a pas mis la démonstration dans le cours.
>

Bonsoir,

Si a est élément du groupe (différent du neutre) alors tout élément du
groupe s'écrit a^i (pour i variant dans [|1..n|] où n est l'ordre de a, ie
le cardinal du groupe).

[Anonyme]

"tautaupe" a écrit
>
> les groupes cycliques sont commutatifs, mais je sais pas comment le
> démontrer, vu que mon prof n'a pas mis la démonstration dans le cours.

Par définition, un groupe G est dit cyclique s'il possède un générateur,
c'est-à-dire s'il existe un élément a de G tel que tout élément de G
soit une puissance de a.
Soient alors x et y deux éléments quelconques de G.
On peut écrire x = a^m et y = a^n, avec m et n dans Z.
Il ne reste plus qu'à calculer xy et yx et à constater qu'ils sont bien
égaux.

Cordialement
Stéphane