Changement de référentiel trigonometrique

[ludo54]

Bonjour à tous,

J'aimerais avoir des explications concernant une problématique qui me semble plutôt simple mais je ne me souviens plus le pourquoi du comment....

ci dessous le lien d'une image pour illustrer mes propos :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Rotation_ ... onaxes.png

Je souhaite faire le liens entre les différents axes après un changement de plan ( soit un plan xOy et x'Oy' d'angle a).

soit x' = x cos(a) - y sin(a)
y' = -x sin(a) + y cos(a)

et en retournant l'équation :

x = x' cos(a) - y' cos(a)
y= x' sin(a) + y' sin(a)

Pourriez vous m'expliquer le résonnement à suivre pour avoir le résultat ci dessous et surtout le choix des signes ?

En vous remerciant par avance pour votre temps et vos informations.

[Ben314]

Salut,
Pssst : résonner raisonner (c'est LA faute qui fait passer pour une vrai cloche...)

Sinon, au départ, tu as un repère (orthonormé direct) du plan.
Ensuite, tu as un deuxième repère (orthonormé direct) .
Comme est de norme 1, il a des coordonnées (dans ) de la forme (où est l'angle orienté de vers ) et, comme est obtenu en partant de par rotation de 90° dans le sens direct, c'est qu'il a comme coordonnées (dans ) (fait un dessin pour te convaincre que si on tourne de 90° dans le sens direct un vecteur de coordonnées (X,Y) on obtient le vecteur de coordonnées (-Y,X)).
Bilan :

Maintenant, si un point a pour coordonnées dans , ca signifie que et on en déduit que :


Donc ce même point a pour coordonnées dans le repère .

Pour obtenir le changement de variable "dans l'autre sens", il y a plusieurs méthodes :
- Soit on "inverse" les relations donnant en fonction de et on réécrit les deux lignes de calcul ci dessus en partant de .
- Soit on inverse directement les formules obtenues ci dessus donnant en fonction de .
- Soit on a un peu de bon sens et on se dit que, si pour passer de à on a tourné de , alors pour passer de à il faut tourner de donc les autres formules, c'est les même que les premières où on a remplacé par .

[Kolis]

Bonjour !
... une vraie cloche ce serait bien aussi !

Pour l'inverse on peut aussi noter que la matrice de passage est orthogonale donc l'inverse n'est autre que la transposée.