Champ vectoriel

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euclide
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Champ vectoriel

par euclide » 04 Juil 2009, 16:19

Bonjour à tous, je m'intéresse aux conditions pour qu'un champ vectoriel soit le gradient d'un champ scalaire . Autrement dit étant donné je me demande quelles sont les conditions pour l'existence de telle que :



Il est clair que si alors mais pour la réciproque je pense qu'il y a des conditions supplémentaires... Si quelqu'un peut m'éclairer merci.



Zavonen
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par Zavonen » 04 Juil 2009, 17:16

Faire une recherche avec mots-clefs 'formes différentielles exactes'
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emdro
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par emdro » 04 Juil 2009, 20:43

Bonjour,

la réciproque est vraie sur un ouvert étoilé, d'après le théorème de Poincaré.

switch_df
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par switch_df » 04 Juil 2009, 21:56

Pas besoin d'être étoilé (ca c'est pour la dérivation d'un potentiel vectoriel), mais juste simplement connexe.

Tu peux généraliser à R^N avec ceci:

Soit un ouvert simplement connexe. Ton champ dérive d'un potentiel scalaire sur cet ouvert ssi sa matrice jacobienne est symétrique sur cet ouvert.

Tu vérifie facilement qu'en posant R=3, t'obtiens rot=0.

emdro
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par emdro » 04 Juil 2009, 22:16

Bonjour Switch_df,

je serais intéressé par un potentiel pour le champ suivant:
... :hum:

Arkhnor
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par Arkhnor » 05 Juil 2009, 08:50

Bonjour.

Emdro> Je ne vois pas où est la contradiction avec ce qu'a dit switch_df
L'ouvert de définition de ton champ de vecteur n'est pas simplement connexe ...

switch_df
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par switch_df » 05 Juil 2009, 11:14

Comme l a dit Arkhnor, ça ne pose aucun problème.

Effectivement la jacobienne est symétrique sur R^2\{(0,0)}, mais ce n'est pas simplement connexe... Donc on ne peut rien conclure a priori.

En intégrant sur le cercle de centre (0,0) et de rayon 1, on voit directement que l'intégrale est non nulle et donc il ne peut pas exister de potentiel scalaire pour ce champ.

(Par contre en si tu étend ce champ à R^3 et en posant la troisième coordonnée nulle, il existe un potentiel vectoriel.)

 

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