Chaine de Markov

[lamiss]

trois enfants A, B et C jouent au ballon
qd A a la balle , la proba pour qu'il l'envoie à B est 3/4 , à C est 1/4
qd b .....................................................A est 3/4 .............1/4
C envoie toujours la balle à B

an= A a le ballon au nième lancer
bn= B.....................................
cn= C.....................................

a0= A a le ballon au début du jeu
b0= B.....................................
c0=C......................................

1. montrer qu'il existe una matrice M d'ordre 3 telle que,
an+1 an
bn+1 = M bn
cn+1 cn

j'arrive à l'écriture matricielle 0 3/4 1/4 an+1
3/4 0 1/4 = bn+1
0 1 0 cn+1

ensuite je n'arrive pas à démontrer ce que l'on me demande
comment faire aprés?

2. en déduire l'expression de an en fonction de M,n et a0
bn b0
cn c0
merci d'avance de m'aider
ps: veuillez détailler vos réponses svp
merci

[nuage]

Bonsoir
Merci

[fahr451]

bonsoir
a(n) est une proba pas un événement an = P(An) etc

en notant U(n) = (a(n) , b(n) ,c(n) ) en COLONNE

on obtient par la formule des probas totales avec le SCE An Bn Cn

U(n+1) = M U(n) où

M = ( (0,3/4,1/4) ; (3/4 ,0, 1/4) ( 0,1,0) ) où j'ai écrit les 3 COLONNES


puis clairement (de proche en proche ou récurrence facile)

U(n) = M^n U(0)