Caractérisation ensemble fermé

[allmess]

Bonjour à tous,
De la même manière que l'on peut caractériser un ensemble ouvert à l'aide d'une norme (si A est ouvert pour la norme N, avec x dans A, pour tout a dans A il existe r>0 tel que N(x-a)<r), peut on caractériser un ensemble fermé? Et si oui, de quel manière?
J'ai bien pensé à , mais j'ai peur de dire une bêtise...
Merci d'avance!!

[bolza]

Bonjour,

oui, puisque par définition, un fermé est le complémentaire d'un ouvert.

[Doraki]

Bonjour à tous,
De la même manière que l'on peut caractériser un ensemble ouvert à l'aide d'une norme (si A est ouvert pour la norme N, avec x dans A, pour tout a dans A il existe r>0 tel que N(x-a)<r)

Sûrement pas.

"il existe r>0 tel que truc < r" c'est toujours vrai il suffit de prendre r = truc+1, donc là tu n'as rien caractérisé du tout.

Une fois que tu auras une caractérisation de "être ouvert" qui marche (déjà ce serait bien que ta caractérisation mentionne l'espace ambiant, sinon c'est forcément faux), ben c'est on ne peut plus simple d'en déduire une caractérisation de "être fermé", juste en remplaçant A par son complémentaire.

[bolza]

Bonjour à tous,
De la même manière que l'on peut caractériser un ensemble ouvert à l'aide d'une norme (si A est ouvert pour la norme N, avec x dans A, pour tout a dans A il existe r>0 tel que N(x-a)<r)

Sûrement pas.

"il existe r>0 tel que truc < r" c'est toujours vrai il suffit de prendre r = truc+1, donc là tu n'as rien caractérisé du tout.

Une fois que tu auras une caractérisation de "être ouvert" qui marche (déjà ce serait bien que ta caractérisation mentionne l'espace ambiant, sinon c'est forcément faux), ben c'est on ne peut plus simple d'en déduire une caractérisation de "être fermé", juste en remplaçant A par son complémentaire.

Oui effectivement, je n'avais pas fait attention à ça ^^
pardon.

[allmess]

Merci pour vos réponses,
En se plaçant dans , un sous ensemble A est dit ouvert pour la norme N si , autrement dit .
Bien sûr est fermé, mais je ne vois pas comment le dire avec la norme..
Merci d'avance!

[Doraki]

Merci pour vos réponses,
En se plaçant dans , un sous ensemble A est dit ouvert pour la norme N si ,

oui

autrement dit .

Non alors déjà tu ne remplaces pas un qui est un symbole mathématique, par un mot français "soit".
Les mots français tu les utilises quand tu fais des phrases en français, tu ne les mets pas au milieu des formules de maths.
Aussi j'avais pas remarqué mais soit tu as renommé le a en x (pour parler d'un autre a plus tard, c'est quand même pas génial d'échanger les noms des gens sans prévenir), soit tu as décidé de complètement inverser l'ordre de tout le monde sans raison. (et c'est encore pire parceque là tu peux être certain que tu vas dire n'importe quoi)

Ensuite, "r>0" là aucun quantificateur donc j'imagine que tu voulais aussi dire "soit r>0", donc tu as transformé un en , va savoir pourquoi.

Ensuite tu t'es planté dans la défintion de "machin est inclus dans truc".
"machin est inclus dans truc" ça veut dire "pour tout x dans machin, x est dans truc".
Toi, j'ai l'impression que tu as dit "pour tout x dans machin, x est dans machin".
("pour tout x dans la boule ouverte de centre a et de rayon R, N(x-a) < R").
Certes c'est la définition de boule ouverte mais ça n'a rien à faire là comme tu l'as mis.


on remplace "inclus dans" par sa définition :

on remplace par sa définition (un élément de la boule dans R de centre x de rayon r pour la norme N, c'est un élément a de R tel que N(x-a)<r)

[allmess]

Un grand merci pour ces clarifications Doraki !
J'en déduit, d'après tes messages précédents que "A fermé" s'écrit ...

[bolza]

Et si tu tiens a te passer des tu peut remplacer les "" par des ""