Capes

[Koala1]

Bonjour, je suis en train d'essayer de faire la partie I du capes 2013 :
http://megamaths.perso.neuf.fr/annales/ag89e.pdf

Mais je suis bloquée dès la question 1 de la partie A.

je pense que xn = 4/5 x0 + 2/5 yo et yn = 1/5x0 + 3/5 y0 mais je ne vois pas le lien avec A^n ???

[lionel52]

Mais si (xn,yn) = A^n (x0,y0) (c'est comme une suite géométrique)

[Koala1]

Mais si (xn,yn) = A^n (x0,y0) (c'est comme une suite géométrique)

D'accord, je n'osais pas l'écrire sans preuve. Merci beaucoup !!!!!

Pour la question 2 :

Soit ( A - x Id ) = 1/5 ( 4 - x 2 )
( 1 3-x )

On calcule le déterminant : P(x) = -7x + x² + 10 = (x-5)(x-2)
Donc on a deux valeur propre 5 et 2 de multiplicité 1 pour chacune des valeurs. Donc A est diagonalisable. Donc on doit cherches les sous espaces propres de chacune des valeurs puis on a P et après on cherche l'inverse de P.

Ce qui nous donne A= ( 2 0 )
( 0 5 )

pour la 3) je peux juste dire que A^n = ( 2^n 0)
( 0 5^n)

Est ce exact ??

[Koala1]

Je sais qu'il y a beaucoup de monde qui pose des questions et que le fait de repondre prends du temps, mais serait ce possible de m'aider.

Merci beaucoup

[Nightmare]

Attention, A n'est pas égale à diag(2,5) mais à P.diag(2,5).P^(-1) et du coup même chose pour A^n qui vaut P.diag(2^n,5^n).P^(-1)

[Koala1]

Attention, A n'est pas égale à diag(2,5) mais à P.diag(2,5).P^(-1) et du coup même chose pour A^n qui vaut P.diag(2^n,5^n).P^(-1)

Merci beaucoup pour votre réponse !!!

4) Je ne jamais eu de cours sur la convergence des matrices du coup je ne sais pas trop comment ca marche.

J'ai lu sur internet que A^n tend vers 0 ssi aij tend vers 0. Mais je ne peux pas m'en servir car 2^n et 3^n ne tendent pas vers 0.

Merci de m'aider

[Nightmare]

Tu as oublié (et moi aussi) le 1/5 dans la matrice.

[Koala1]

Tu as oublié (et moi aussi) le 1/5 dans la matrice.

Ah oui sur mon broullon je l'avais !! juste oublié de le mettre devant ^^

Pour la 4) Du coup j'ai (2/5) ^n -> 0 quand n tend vers l'infini et de même pour (3/5)^n donc A^n tend vers 0 donc A^n converge.

Pour la 5)
xn = A^n(x0,y0) il me suffit de faire le produit. Mais après je ne sais pas quoi faire

Merci

[Nightmare]

Tu as dit ce qu'il y avait à dire : A converge si tout ses coefficients converge et sa limite est la matrice dont les coefficients sont les limites des coefs de A.

[Koala1]

Tu as dit ce qu'il y avait à dire : A converge si tout ses coefficients converge et sa limite est la matrice dont les coefficients sont les limites des coefs de A.

Désolée je venais de corriger mon post precedent le temps que vous m'expliquier

[Koala1]

Désolée je venais de corriger mon post precedent le temps que vous m'expliquier

Pour la 5) j'ai réussi a montrer la convergence grace au suites géométriques.

Partie B : Pour la question 1) c'est évident donc du coup je ne sais pas comment le prouver

[Nightmare]

c'est évident donc du coup je ne sais pas comment le prouver

C'est un peu contradictoire!

Reviens une nouvelle fois à la définition, de la limite d'une part et de la somme de matrices d'autre part.

[Koala1]

C'est un peu contradictoire!

Reviens une nouvelle fois à la définition, de la limite d'une part et de la somme de matrices d'autre part.

D'accord je fais de même pour la 1.2 avec la multiplication par un scalaire.

Pour la 1.3 :

soit an * A^n j'écrit le produit puis je cherche la limite en revenant à la définition.

Pour la 2.1 je ne sais pas comment faire vu que j'ai une suite de matrice

Merci encore pour votre aide

[Nightmare]

C'est toujours la même chose sauf que cette fois-ci il faut utiliser la définition du produit matriciel.

[Koala1]

C'est toujours la même chose sauf que cette fois-ci il faut utiliser la définition du produit matriciel.

D'accord merci beaucoup !!!!

Pour la partie C :

Je ne comprend pas même pas pourquoi lambda sera compris entre -1 et 1

[Nightmare]

Attention, lambda est un complexe est non un réel, il est de module inférieur à 1.

C'est une valeur propre, donc il existe un vecteur x pour lequel u(x)=lx. Compose alors par u successivement et utilise le fait que u^n converge.

[Koala1]

Attention, lambda est un complexe est non un réel, il est de module inférieur à 1.

C'est une valeur propre, donc il existe un vecteur x pour lequel u(x)=lx. Compose alors par u successivement et utilise le fait que u^n converge.

Donc je comprend u(x) = Lambda x

Mais pourquoi je dois faire u^n(x) ???
u^n+1(x) = u^(n) ( Lambda x ) = u(u^(n)(lambda x )) et après ???

Désolé j'ai assez de mal avec l'algèbre linéaire

[Nightmare]

tu as u²(x)=u(lx)=l*u(x)=l*lx=l²x
u^3(x)=u(u²(x))=u(l²x)=l²u(x)=l^3x
etc.

par récurrence immédiate u^n(x)=l^n.x

Mais u^n est censé converger, donc u^n(x) aussi, or que pour que l^n.x converge, il faut que |l| soit inférieur à 1.

[Koala1]

tu as u²(x)=u(lx)=l*u(x)=l*lx=l²x
u^3(x)=u(u²(x))=u(l²x)=l²u(x)=l^3x
etc.

par récurrence immédiate u^n(x)=l^n.x

Mais u^n est censé converger, donc u^n(x) aussi, or que pour que l^n.x converge, il faut que |l| soit inférieur à 1.

A oui d'accord !!!!! Merci pour l'explication !!!!!

Soit module (lambda) = 1
Considerons | l^n+1 - l^n | qui est supérieur a | l^n+1 | - | l^n | = 1-1 = 0
Mais après je ne sais pas