Calcul d'une somme de cardinaux d'intersections

[capitaine nuggets]

Bonjour,

J'ai trouvé cette somme à calculer, mais je n'y arrive pas.
Soit un ensemble à élément.
Calculer

J'ai tenté plusieurs pistes :
1°) Développer les sommes :
Puis distinguer des cas entre lesquels est vide ou non et si mais sans résultat...
2°) J'ai aussi essayé de poser en d'en déduire des choses mais rien non plus.
3°) Enfin, j'ai essayé de "partitionner" de manière à pouvoir simplifier une des somme mais rien...

Une idée ?

[arnaud32]

si tu fixes le cardinal de l'intersection, combien de parties possibles as tu?
et combien de couples X,Y peux tu trouver ayant meme intersection?

[Ben314]

Le plus simple, c'est d'utiliser le fait que le cardinal d'un ensemble, c'est 1+1+1+...+1, c'est à dire que où si et 0 sinon :

d'où

Or, pour fixé c'est de nouveau du 1+1+...+1 et ça compte le nombre de couples tels que c'est à dire tels que et .
Il est clair que le nombre de parties de telle que est où donc le nombre de tels couples est et donc

[capitaine nuggets]

si tu fixes le cardinal de l'intersection, combien de parties possibles as tu?
et combien de couples X,Y peux tu trouver ayant meme intersection?

Alors là, aucune idée...

Le plus simple, c'est d'utiliser le fait que le cardinal d'un ensemble, c'est 1+1+1+...+1, c'est à dire que où si et 0 sinon :

d'où

Or, pour fixé c'est de nouveau du 1+1+...+1 et ça compte le nombre de couples tels que c'est à dire tels que et .
Il est clair que le nombre de parties de telle que est où donc le nombre de tels couples est et donc

Je pense avoir compris ta méthode :++:
Merci