Calcul d'une limite (difficile)

[Naths]

Bonjour tlm :happy3:
sans introduction ^^ voici une limites que j'ai pas pu calculer :triste: :
(ln(x+1)/ln(x))^(x*ln(x)) quand x tend plus l'infini.
merci d'avance pour votre aide. :help:

[leon1789]

ln(x+1)/ln(x) > 1 donc ....

[leon1789]

quand x tend plus l'infini.

pour tout x>1 , , donc , donc ....

[Naths]

pour tout x>1 , , donc , donc ....

(ln(x+1)/ln(x))^(x*ln(x))>1 ...? :hein:

[leon1789]

ah, l'exposant de la fonction a changé :

quand x tend plus l'infini.

En passant l'expression au log, tu arrives à quoi ?



Un petit développement asymptotique de sera utile.
EDIT : non, on peut faire un peu plus simple avec un équivalent de lorsque u tend vers 1...

A toi !

[Naths]

ah, l'exposant de la fonction a changé :

En passant l'expression au log, tu arrives à quoi ?

Un petit développement asymptotique de sera utile.

log(x)=ln(x)/ln(10) ? je crois que ca change rien nn ?
ce que j'ai essayé de faire c'est le suivant:
(ln(1+x)/ln(x))^(x*ln(x))=exp(x*ln(x)*ln(ln(1+x)/ln(x)))=exp(x*ln(x)*ln(1+(ln(1+x)/ln(x))))
mais ca donne tjr une indétermination

[leon1789]

non pas le log en base 10 :lol3: mais le log népérien

(ln(1+x)/ln(x))^(x*ln(x)) = exp(x*ln(x)*ln(ln(1+x)/ln(x)))
mais ca donne tjr une indétermination

oui, c'est bien ça et regardons dans l'exponentielle : il y a x . ln(x) . ln(ln(1+x)/ln(x))

on pose u(x) = ln(1+x)/ln(x)

u(x) tend vers quoi quand x tend vers l'infini ?
et donc ln(u(x)) est équivalent à quoi ?

[Naths]

ah, l'exposant de la fonction a changé :

En passant l'expression au log, tu arrives à quoi ?



Un petit développement asymptotique de sera utile.
EDIT : non, on peut faire un peu plus simple avec un équivalent de lorsque u tend vers 1...

A toi !

donc f(x) notre fonction= u(x)^(x*ln(x)) avec u(x) tend vers 1 quand x tend vers plus l'infini
ln(f(x))=x*ln(x)*ln(u(x))
c ca ^^' ?

[leon1789]

nos messages se sont croisés. Oui, ln(f(x))=x . ln(x) . ln(u(x))

u(x) tend vers quoi quand x tend vers l'infini ?
et donc ln(u(x)) est équivalent à quoi ? (en fonction de u seulement, pas un truc compliqué).

[Naths]

non pas le log en base 10 :lol3: mais le log népérien

oui, c'est bien ça et regardons dans l'exponentielle : il y a x . ln(x) . ln(ln(1+x)/ln(x))

on pose u(x) = ln(1+x)/ln(x)

u(x) tend vers quoi quand x tend vers l'infini ?
et donc ln(u(x)) est équivalent à quoi ?

u tend vers 1 et ln(u) sera 0

[leon1789]

u tend vers 1 et ln(u) sera 0

oui, ln(u) tend vers 0, mais ln(u) n'est pas équivalent à 0.
quand u est proche de 1, ln(u) est équivalent à ... (tu connais la notion d'équivalent ? )

[Naths]

oui, ln(u) tend vers 0, mais ln(u) n'est pas équivalent à 0.
ln(u) est équivalent à ... (tu connais la notion d'équivalent ? )

non j'ai pas bien compris le mot équivalent ^^

[leon1789]

non j'ai pas bien compris le mot équivalent ^^

ah..

Connais-tu la notion de développement limité ? développement asymptotique ?

Tu viens de terminale ou tu as déjà fait un bac+1 ?

[Naths]

ah..

Connais-tu la notion de développement limité ? développement asymptotique ?

Tu viens de terminale ou tu as déjà fait un bac+1 ?

bac+2 :euh: mais ca fait longtemps que j'ai pas bien révisé les développement limités, un petit rappelle stp

[leon1789]

bac+2 :euh: mais ca fait longtemps que j'ai pas bien révisé les développement limités, un petit rappelle stp

Alors, on va utiliser l'équivalent classique de ln(u) quand u est proche de 1 : c'est u-1
quand u est proche de 1, ln(u) ~ u-1, à retenir !

on n'écrit pas ln(u) = u-1 , ce qui serait une aberration.

Donc ln(f(x)) ~ x . ln(x) . (u(x)-1)

Intéressons-nous à u(x)-1 : est-ce que tu peux mettre u(x)-1 sous forme A/B ? A toi.

[Naths]

Alors, on va utiliser l'équivalent classique de ln(u) quand u est proche de 1 : c'est u-1
quand u est proche de 1, ln(u) ~ u-1, à retenir !

on n'écrit pas ln(u) = u-1 , ce qui serait une aberration.

Donc ln(f(x)) ~ x . ln(x) . (u(x)-1)

Intéressons-nous à u(x)-1 : est-ce que tu peux mettre u(x)-1 sous forme A/B ? A toi.

:id:
u(x)-1 ~ ln((1+(1/x))/ln(x)
donc ln(f(x)) ~ x*ln(1+(1/x))

[leon1789]

oui.

vers quoi tend 1 + 1/x ?
à quoi est équivalent ln(1 + 1/x) ~ .... ?
à quoi est équivalent ln( f(x) ) ~ x . ln(1 + 1/x) ~ ....?
Vers quoi tend ln( f(x) ) ?
Vers quoi tend f(x) ?

A toi !

Edit : n'utilise pas le signe = pour des équivalents ! :!: utilise ~
Ne mets pas de parenthèses inutiles... et mets des espaces pour mieux voir ... :lol3: penses à mes yeux, ils ne sont pas jeunes...

[leon1789]

oui exactement !

vers quoi tend 1 + 1/x ? vers 1 ! Donc ln(1 + 1/x) est équivalent à .... ?

à quoi est équivalent ln( f(x) ) ~ x . ln(1 + 1/x) ~ ....?
Vers quoi tend ln( f(x) ) ?
Vers quoi tend f(x) ?

A toi !

Edit : n'utilise pas le signe = pour des équivalents ! :!: utilise ~
Ne mets pas de parenthèses inutiles... et mets des espaces pour mieux voir ... :lol3: penses à mes yeux, ils ne sont pas jeunes...

[Naths]

je crois que je suis proche de la réponse mais "l’équivalence" m’empêche d'y arriver :doute:

[leon1789]

je crois que je suis proche de la réponse mais "l’équivalence" m’empêche d'y arriver :doute:

refrain :

quand est proche de 1, le est équivalent à

tu l'as appliqué à truc = u(x), maintenant il faut l'appliquer à truc = 1 + 1/x .