Calcul tensoriel

[Billball]

salut,

j'ai besoin d'un petit coup de main pour la correction d'exos d'exam :

soit et et un vecteur

A t-on .). = .(.) ?


et

Soit , , et quatre champs de vecteurs de E_3, espace vectoriel de dimension 3, définis sur un domaine D de E_3

1. Transformer ( ^ ) ^ en utilisant une écriture intrinséque.

2. on pose = () ou est une application diff sur D et une fct scalaire.
Calculer que peut on dire de


...

merci de m'éclairer

[Billball]

Personne? =(

[Billball]

Up! Tjs besoin =o

[Billball]

encore et tjs besoin... :cry:

[Doraki]

c'est quoi les trucs avec deux barres au-dessus ?

[laya]

c'est quoi les trucs avec deux barres au-dessus ?

Ce sont des tenseurs d'ordre 2. Les calculs sur les tenseurs d'ordre 2 sont simples puisqu'on peut les identifier à des matrices 3x3.
Les tenseurs ont été introduits par les physiciens, surtout les mécaniciens, qui avaient besoin d'écritures intrinsèques qui ne changent pas de visage quand on change de base. On utilise toujours la convention d'einsten quand on fait du calcul tensoriel, ça simplifie énormément les calculs.
Mathématiquement, ce sont des "formes multilinéaires" (grosso-modo)

[Billball]

Ce sont des tenseurs d'ordre 2. Les calculs sur les tenseurs d'ordre 2 sont simples puisqu'on peut les identifier à des matrices 3x3.
Les tenseurs ont été introduits par les physiciens, surtout les mécaniciens, qui avaient besoin d'écritures intrinsèques qui ne changent pas de visage quand on change de base. On utilise toujours la convention d'einsten quand on fait du calcul tensoriel, ça simplifie énormément les calculs.
Mathématiquement, ce sont des "formes multilinéaires" (grosso-modo)

oué c'est parfaitement ca..

par contre pour calculer, c'est autre chose

[Doraki]

Donc c'est des formes bilinéaires ?

Et les opérations que tu notes ".", c'est quoi ?

[Billball]

euh des multiplications..

par ex :

on note div

[Doraki]

faut que tu m'expliques à quoi ça rime de multiplier deux formes bilinéaires entre elles alors :/
Je sais comment on compose deux applications linéaires, oui, mais alors des formes bilinéaires, j'vois pas.

[Billball]

bilinéaire? j'ai jamais entendu ce mot..

[Doraki]

Bah je sais pas ce que c'est qu'un tenseur, et donc je peux pas savoir comment on les multiplie.
T'as pas genre, des définitions ?

une application "bilinéaire" c'est une application "multilinéaire" quand l'application a 2 arguments.
Si t'as cité le post de laya avec le mot "formes multilinéaires" dedans en disant que t'étais d'accord, tu devrais savoir ce que c'est.

[Billball]

ben

un scalaire [1] c'est un tenseur d'ordre 0
vecteur [1,2,3] d'ordre 1
matrice [1,2,3,4,5,6,7,8,9] d'ordre 2

etc..

le vecteur on peut le noter

la matrice (avec X produit tensoriel)

dans mon cours j'ai plus ou moins que ca, aprés il les appliquent aux opérations grad, div, rot..

[Doraki]

Le produit de 2 tenseurs d'ordre 2 ça fait donc un tenseur d'ordre 4 ?
Et quand tu multiplies ça par un vecteur ça fait un tenseur d'ordre 5 ?

dans la question "(tenseur A. tenseur B). vecteur X = tenseur A. (tenseur B. vecteur X) ?", c'est des tenseurs d'ordre 5 ?

[Billball]

justement,

je cite mon cours:

" la contraction (on dit le produit scalaire) de deux vecteurs donne un scalaire :

ou "

ce dont tu parles c'est le produit tensoriel:

"Le produit tensoriel de deux vecteurs permet de construire un tenseur du 2éme ordre (matrice) :

ou

[Doraki]

Mais alors le "." c'est un produit tensoriel ou un produit scalaire ?

[Billball]

c'est un scalaire, le produit tensoriel c'est X (en réalité c'est ;) )

[laya]

salut,

j'ai besoin d'un petit coup de main pour la correction d'exos d'exam :

soit et et un vecteur

A t-on .). = .(.) ?


et

Soit , , et quatre champs de vecteurs de E_3, espace vectoriel de dimension 3, définis sur un domaine D de E_3

1. Transformer ( ^ ) ^ en utilisant une écriture intrinséque.

2. on pose = () ou est une application diff sur D et une fct scalaire.
Calculer que peut on dire de


...

merci de m'éclairer

Je note pas avec les barres et je remplace ;) par *
Pour le 1 :

Donc
Tu égalises k et j et ça donne :

Tu fais presque la même chose à gauche et tu compares par à l'emplacement des indices si c'est la même chose, bon je le fais pour exemple :

Tu égalises k et j :

Maintenant, tu contractes par A à gauche :

Tu égalises i et n :

Maintenant, tu peux comparer de suite les deux expressions ou alors renommer les indices pour y voir plus clair (attention à ne pas prendre des indices qui sont déjà dans l'expression) : on pose m = i, n = p, il vient :

Reste à conclure si les deux expressions trouvées sont les mêmes.

Pour la 2 :
Ben il faut d'abord connaître la forme intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs. On note le tenseur d'orientation d'ordre 3 (trilinéaire) : si au moins deux indices sont égaux ; si (ijk) est une permutation circulaire (donc paire : produit de 2 transpositions) et si ce n'est pas une permutation circulaire.
On a alors : , produit deux fois contracté de par le tenseur d'ordre 2 produit des deux vecteurs B et A.
Maintenant, tu fais le produit vectoriel de par C en utilisant cette expression et encore une deuxième fois, le tenseur d'orientation .

Pour la 3 :
Tu as aussi l'expression du rotationnel d'un vecteur en fonction du tenseur d'orientation et du gradient : : produit deux fois contracté d'un tenseur d'ordre 3 (tenseur d'orientation ) et d'un tenseur d'ordre 2 (gradient d'un vecteur).
Ici, ton vecteur u est , tu dois donc d'abord calculer son gradient (tenseur d'ordre 2). Tu peux écrire :

où la virgule dans signifie qu'on dérive par rapport à la ième composante cartésienne (Oui, attention, on bosse en cartésiennes ).
Ainsi, comme et que alors :

Or et
Bon voilà, ensuite tu fais le produit avec le tenseur d'orientation.

[Billball]

je lis et je gratouille sur papier pour bien voir..
merci bcp!