Calcul de somme de cosinus au carré

[Masthosi]

Bonjour, j’ai eu en khôlle un exercice que je n’ai pas su résoudre. Je profite des vacances pour me remettre dessus et essayer de le résoudre mais je bloque. J’ai essayé différente méthode mais aucune ne semble fonctionner.
Calculer S = cos ^2(pi/14) + cos^2(2pi/14)+ cos ^2(3pi/14)

J’ai essayé de poser X= pi/14 et de passer cette expression sous forme exponentielle mais le cos^2 me pose problème.
En espérant avoir quelques éclaircissements ! Merci.

[tournesol]

[Masthosi]

Merci pour cette aide en effet, j’avais oublié cette formule de trigo pourtant évidente ...
Une fois le tout développé, je tombe sur du [3+ cos(pi/7)+cos(2pi/7)+cos(3pi/7)]/2.
Je pensais utiliser la somme de cosinus sous la forme cos(kx) mais je me rend compte que ça je m'amène pas à grand chose...

[Yezu]

Salut,

Je ne pense pas que ton résultat s'exprime comme un nombre rationnel; mais je peux me tromper. À la limite tu peux l'écrire comme le résultat d'une série géométrique. Tu es sùr que tu as bien recopié l'énoncé ?

[Masthosi]

Salut, l’énoncé est bien :
Calculer S= cos^2(pi/14)+cos^2(2pi/14)+cos^2(3pi/14)

[Kolis]

Si tu as pensé à utiliser les formules d'Euler quand il y avait des carrés, pourquoi ne pas reprendre la même idée lorsque tu n'as plus de "carrés" ?

[Masthosi]

C’est ce que je viens d’essayer de faire mais je retombe toujours sur le meme résultat ce qui me paraît logique car je fais cos (pi/7) = exp(ipi/7)+ exp(-ipi/7) et avec la formule d’euler, l’exponentielle se simplifie et il reste [2cos(pi/7)]/2 et je reviens au problème initial

[Yezu]

Salut,

Je confirme ce que je dis plus haut, ce résultat ne peut pas s'exprimer comme un nombre rationnel (pas forcément rationnel mais plutôt il n'y a pas de simplifications supplémentaires).

[Masthosi]

Du coup comme réponse au problème je dois répondre S= [3+ cos(pi/7)+cos(2pi/7)+cos(3pi/7)]/2 ?

[Yezu]

Quel était l'énoncé ? "Calculer' ou 'Simplifier' ?

[Masthosi]

L’énoncé est bien « calculer ».

[Yezu]

Rebonjour,

Je ne peux pas te laisser partir sans rien .. je peux te montrer ce que ça donne si on avait un - sur le .
Posons .
Considérons .
Remarquons que , , , de sorte que .
Si on pose , on a ainsi :
.

On peut calculer directement aussi :

Or , finalement :
. Autrement dit :
.