Calcul de primitive

[Rockleader]

Bonjour, j'aurais aimé s'il était possible de calculer la primitive d'une expression de la forme

cos(ax)sin(ax)^n par rapport à x.

(Sans utiliser d'intégration par partie ou un changement de variable ? )


Dans le cas contraire, on pourrait poser U = sin(ax)

ET on chercherait donc la primitive de (U'U^n)/a
A ce moment là je vois pas comment continuer.


L'intégration par partie nous donnerait

U = cos(ax) V'= sin(ax)^n

= cos(ax)*(-cos(ax)^n+1)/a + (((-cos(ax)^n+1)/a)*(sin(ax)/a)

ET là aussi je vois plus trop comment continuer.


EN gros, j'aimerais avoir un exemple bien détaillé de résolution de cette primitive à la fois par la méthode du changement de variable, d'intégration par partie.
Ainsi que d'une autre façon s'il y a plus simple !


Merci !

[Rockleader]

EDIT: j'ai trouvé la forme des primitive pour U'U^n ça va être U^n+1 / n+1 je pense que ça devrait marcher

Ce qui dans mon cas me donnerait

sin(ax)^n+1 / (n+1)*a

Maintenant est ce que c'est possible de le faire par intégration par partie ou changement de variable ?

[Nightmare]

Faire un changement de variable reviendrait à appliquer la formule U'U^n.

Par exemple, on fait u=sin(ax), du=acos(ax)dx donc l'intégrale indéfinie devient celle de 1/a.u^ndu et on retombe sur ton résultat.

Par intégration par partie, on pourrait surement la répéter de sorte à diminuer la puissance n mais c'est long pour rien.