Calcul noyau application linéaire

[minisac]

Bonjour.

J'ai un exercice ou il faut que je prouve que l'application f est injective en calculant le noyau de celui ci. Je me lance donc dans le calcul de Ker(f).

Le système admet une incohérence du type x=-x
Qu'en déduire alors? Si le système n'a pas de solution que cela veut il dire? Et qu'en est il alors de la dimension de ker(f). Effectivement j'ai besoin de ça pour calculer par la suite le rang de f.

Merci d'avance.

[Joker62]

Bonsoir.

Tu pourrais nous montrer ce que vaut f ?

[minisac]

alors
Ker(f)={(x,y,z)€ R3 / f(x,y,z)=0R3} avec f(x,y,z) = (y+z,x+z,x+y)
Ker(f)={(x,y,z)€R3 / f(x,y,z)=(0,0,0)

On obtient alors le système suivant :
Y+z=0 y=-z y=-z
X+z=0 x+z =0 x=-x
X+y=0 x=-y x=z


Donc du coup je suis bloqué car je sais pas quoi en déduire pour la dimension de ker(f)

Merci d'avance.

[Joker62]

Hé bien la première donne y = -z;
Quand on remplace dans 3 on a x - z = 0

Donc avec la deuxième
x+z = 0
x-z = 0

donc en ajoutant, 2x = 0 et x = y = z = 0

Il n'y a pas d'incohérence avec ton x = -x.

[minisac]

Effectivement, merci pour cette réponse très brève. Cela me simplifie la chose puisque du coup kerf=0 R3 donc f est injective. Du coup avec le théorème du rang on peut voir que
rg f= dim E - dim(kerf) = 3 et comme Imf est inclus dans R3 alors Imf=3 et donc l'application est surjective, et par conséquent bijective. Du coup pas besoin de chercher une base de R3 pour Im de f avec les vecteurs canioniques de R3.

Merci beaucoup, bonne fin de soirée.

[Joker62]

Comme tu l'as montré dans ce cas, tu verras qu'en dimension finie, pour avoir la bijectivité, il suffit d'avoir l'injectivé ou bien la surjectivité.

Du coup : injective <=> surjective <=> bijective
Ce qui est faux bien sûr dans le cas général.

Bonne soirée à toi ;)