[MPSI] Noyau, image et application linéaire

[Anonyme]

Salut à tous,

J'ai une application de R^3 dans R^2 :
g : R^3 -> R^2
(x,y,z) -> (x + z, 5x -2y + z)

Je dois déterminer Ker g et Im g...

J'ai montré que g est une AL de R^3 dans R^2.

Pour le noyau, je fais :
(x,y,z) élement de Ker g <=> (x + z, 5x - 2y + z) = (0 , 0)
<=> { x = - z ; y = - 2z ; z = z }

Ca me suffit ? Je peux dire que Ker g = {(-z, -2z, z) / z element de R} ?

Et pour l'image, je vois pas trop quoi dire, c'est l'ensemble des (x + z,
5x - 2y +z) non ?

Merci,

--

[Anonyme]

On Sun, 25 Jan 2004 20:25:17 +0100, "Vincent Sprit"
wrote:

>Salut à tous,
>
>J'ai une application de R^3 dans R^2 :
>g : R^3 -> R^2
> (x,y,z) -> (x + z, 5x -2y + z)
>
>Je dois déterminer Ker g et Im g...
>
>J'ai montré que g est une AL de R^3 dans R^2.
>
>Pour le noyau, je fais :
>(x,y,z) élement de Ker g (x + z, 5x - 2y + z) = (0 , 0)
> { x = - z ; y = - 2z ; z = z }
>
>Ca me suffit ? Je peux dire que Ker g = {(-z, -2z, z) / z element de R} ?
>
>Et pour l'image, je vois pas trop quoi dire, c'est l'ensemble des (x + z,
>5x - 2y +z) non ?
c'est un sev de R^2 ?
mais lequel?
>Merci,
>
>--
>
>

*****************

Pichereau Alain

adresse mail antispam : ôter antispam, les 3 lettres devant wana et bien sûr le .invalid

http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )

*****************

[Anonyme]

Vincent Sprit :

> Ca me suffit ? Je peux dire que Ker g = {(-z, -2z, z) / z
> element de R} ?
>
> Et pour l'image, je vois pas trop quoi dire, c'est l'ensemble
> des (x + z, 5x - 2y +z) non ?

Oui, mais je suppose qu'on te demande plutôt une interprétation
géométrique.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

> c'est un sev de R^2 ?

Une base ?

(a premiere vue, non ?)

[Anonyme]

J'ai pas vu ca en cours mais bon, si j'ai bien compris :

Vect(Im g) = Sum(i=1 à n)K_i*(x+z, 5x - 2y + z)
Avec K_i element de R

Par déduction, si la la famille des Im g est libre (ce qui est le cas non ?)
et si Vect(Im g) = R^2, alors c'est une base ?

Je crois bien que Vect(Im g) = R^2 de plus...

Merci de m'éclairer ;-)

[Anonyme]

On Sun, 25 Jan 2004 21:35:02 +0100, "Vincent Sprit"
wrote:

>J'ai pas vu ca en cours mais bon, si j'ai bien compris :
>
>Vect(Im g) = Sum(i=1 à n)K_i*(x+z, 5x - 2y + z)
>Avec K_i element de R
>
>Par déduction, si la la famille des Im g est libre (ce qui est le cas non ?)
>et si Vect(Im g) = R^2, alors c'est une base ?
>
>Je crois bien que Vect(Im g) = R^2 de plus...
>
>Merci de m'éclairer


il y a plusieurs façons de prouver que Img=R^2

soit le th du rang , mais peut-être pas vu?

soit en disant que Img est engendré par les vecteurs
(1,5) (0,-2) et (1,1)
et les 2 1er, par exemple, sont lt indépendant

soit en vérifiant que qq (X,Y)
il existe (x,y,z) tels que (x+z,5x-2y+z)=(X,Y)
(on fixe z et on résoud en x et y)


rem : je ne comprends pas très bien ta notation Vect(Img)
car Img est déjà un sev
et il me semble que l'on utilise
Vect( u_1,u_2,...,u_n) pour désigner le sev constitué de toutes les
combinaisons linéaires des u_i, cad le sev engendré par les u_i


*****************

Pichereau Alain

adresse mail antispam : ôter antispam, les 3 lettres devant wana et bien sûr le .invalid

http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )

*****************

[Anonyme]

> il y a plusieurs façons de prouver que Img=R^2
>
> soit le th du rang , mais peut-être pas vu?

hélas non ou alors sous un autre nom

> soit en disant que Img est engendré par les vecteurs
> (1,5) (0,-2) et (1,1)
> et les 2 1er, par exemple, sont lt indépendant

Ah, ca me rassure

("sont lt indépendant " veut dire que la famille est libre ?)

>
> soit en vérifiant que qq (X,Y)
> il existe (x,y,z) tels que (x+z,5x-2y+z)=(X,Y)
> (on fixe z et on résoud en x et y)

Oui c'est une solution que j'ai vérifié entre temps, cependant c'est
relativement long à rédiger et un autre exercice (juste après) me demande
de faire de même pour une application dont l'image est R^3

> rem : je ne comprends pas très bien ta notation Vect(Img)
> car Img est déjà un sev
> et il me semble que l'on utilise
> Vect( u_1,u_2,...,u_n) pour désigner le sev constitué de toutes les
> combinaisons linéaires des u_i, cad le sev engendré par les u_i

Oui, la fatigue de ma part, plus des choses que je ne maitrise pas super
bien (mais que j'ai apprise de moi même, car certaines choses que je vois ds
des bouquins de 1er cycle n'ont pas été vues en cours, et ca m'inquiete un
peu)

[Anonyme]

Avant d'aller plus loin revois ton calcul....
(ça me semble assez important pour 'couper' le fil en parlant en haut) :
Ker g, c'est pas ce que tu trouves...

Vincent Sprit a écrit:
> Salut à tous,
>
> J'ai une application de R^3 dans R^2 :
> g : R^3 -> R^2
> (x,y,z) -> (x + z, 5x -2y + z)
>
> Je dois déterminer Ker g et Im g...
>
> J'ai montré que g est une AL de R^3 dans R^2.
>
> Pour le noyau, je fais :
> (x,y,z) élement de Ker g (x + z, 5x - 2y + z) = (0 , 0)
> { x = - z ; y = - 2z ;z = z }
>
> Ca me suffit ? Je peux dire que Ker g = {(-z, -2z, z) / z element de R} ?
>
> Et pour l'image, je vois pas trop quoi dire, c'est l'ensemble des (x + z,
> 5x - 2y +z) non ?
>
> Merci,
>
> --
>
>

[Anonyme]

Ouups Trop rapide le post précedent désolé... PAUL
(j'ai fait une fôte de signe)
PAUL

Vincent Sprit a écrit:
> Salut à tous,
>
> J'ai une application de R^3 dans R^2 :
> g : R^3 -> R^2
> (x,y,z) -> (x + z, 5x -2y + z)
>
> Je dois déterminer Ker g et Im g...
>
> J'ai montré que g est une AL de R^3 dans R^2.
>
> Pour le noyau, je fais :
> (x,y,z) élement de Ker g (x + z, 5x - 2y + z) = (0 , 0)
> { x = - z ; y = - 2z ;z = z }
>
> Ca me suffit ? Je peux dire que Ker g = {(-z, -2z, z) / z element de R} ?
>
> Et pour l'image, je vois pas trop quoi dire, c'est l'ensemble des (x + z,
> 5x - 2y +z) non ?
>
> Merci,
>
> --
>
>

[Sphinx]

Tu as déjà montré que ker g est la droite engendrée par u(-1,-2,1)
De plus:dim ker g +dim Im g=3,(théorème du rang),donc Im g est de dimension 2.
C'est donc R^2 tout entier.
cqfd