Calcul Matriciel

[lanfranky]

Bonjour besoin d'un coup de pouces svp pour quelques questions :

On considere I'espace vectoriel R3 muni de sa base canonique B=(i,j,k)
Soit f I'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base B est
M= 0 1 0
0 0 1
1 -3 3
on note I=1 0 0
0 1 0
0 0 1

Question I (1,5 point)
a. Soit € R. Montrer que le determinant de la matrice M-I, det(M-I), est égal à (l-)exp3.
ok pas de soucis

b, Justifier que M admet une et une seule valeur propre ; déterminer la dimension du sous-espacepropre associé.
ƛ=1 qui est une valeur triple
Donc dim E(ƛ=1) =3

c, La matrice M est t'elle inversible ? La matrice M est-elle diagonalisable ?
det M=-1 donc inversible = oui ,
v=(1,1,1) or dim E(ƛ=1) =3 donc diagonalisable = non

Question 2 (1,5 point)
On pose: e1=i+ j+k, e2=2i+ j.

â. Montrer que B' = (e1, e2, i) est une base de R3.
soit i=(1,0,0) j=(0,1,0) et k=(0,0,1) donc :
e1=(1,1,1) , e2=(2,1,0) , i=(1,0,0)
det B'=0, les 3 vecteurs sont indépendants ils forment une famille libre de R3 et dim(e1,e2,i)=3 donc
(e1,e2,i) est une base de R3

b. Montrer que la matrice N de I'endomorphisme / dans la base B' est:
alors là je bloque ....
pour moi il fallait juste calculer f(e1) f(e2) et f(i) pour obtenir N soit :
A x e1 , A x e2 et A x i soit :
fe1 (1,1,1)
Fe2 (1,0,2)
Fei (0,0,1)
Mais cela.ne correspond pas a N....

c. Quelle est la matrice P telle que PNP-1 = M ?
pour moi P est la matrice de passage de M soit :
1 0 0 0 0
0 1 0 soit 0 0
0 0 1 0 0
mais j'ai l'impression voir je suis sur de faire erreur ...


Merci pour vos coups de mains et vos explications .

Franck

[aviateur]

Bonjour
Commençons par la question a) qui est manifestement fausse.
Sans faire de calcul, c'est certain que c'est faux parce que la seule matrice ayant 1 comme valeur propre et de sev propre de dim 3 c'est l'identité I.
Il faut chercher le s.e.v propre en résolvant l'équation MX=X ou encore (M-I)X=0
La question

[lanfranky]

bonjour et merci de ta réponse Aviateur .

Oui je l'ai fait en fait pour ƛ=1 on obtient :
(- 1 1 0) (x)
(0 -1 1 ) x (y) =0
(1 -3 2 ) (z)

-x+y=0 cad x=y
-y + z = 0 cad z=y=x
x-3y+2=0

donc le vecteur est de la forme V=(x,x,x) = x(1,1,1)
soit v1=(1,1,1) est le vecteur propre associé à la valeur propre triple ƛ=1

[lanfranky]

et je voulais dire que E(ƛ=1)=3 (puisque valeur propre triple ..) à pour base une droite de vecteur directeur
v=(1,1,1)

[aviateur]

Ah j'avais pas compris. Je regarde alors la suite

[aviateur]

La question 2 ok sauf que det (B')=0 m'étonne.
la question 3 je suppose que la matrice N c'est M-I? ce n'est pas dit !

En fait je ne comprends la question 3 qui n'est pas claire et dans ta solution tu parles d'une matrice A qui n'est pas définie.
Il faut que tu précises la question exactement.

[aviateur]

la question 3 montrer que la matrice N de l'endomorphisme..... lequel?

[aviateur]

Finalement la question c) me permet de deviner les questions précédentes.
N est souvent employé pour nilpotente et justement ici M-I est nilpotente. Mais vu la question c) N c'est la matrice de l'endomorphisme f dans la base B'.
Je trouve un peu fort de demander de l'aide, mais de ne pas faire l'effort de donner un énoncé correct.

[lanfranky]

ok pour la question 2 je voulais dire différent en fait det B'=-1

et pour la question 3 je reprends:

b. Montrer que la matrice N de I'endomorphisme / dans la base B' est:
N= 1 -1 1
0 1 -1
0 0 1

alors là je bloque ....
pour moi il fallait juste calculer f(e1) f(e2) et f(i) pour obtenir N soit :
M x e1 , M x e2 et M x i soit :
fe1 (1,1,1)
Fe2 (1,0,2)
Fei (0,0,1)
Mais cela.ne correspond pas a N....

[aviateur]

c'est quoi l'endomorphisme / ??

[lanfranky]

aie.. dsl c'est que quand j'ai copié le sujet il ne m'a pas intégré certains caractères ...encore dsl

l'endomorphisme c'est f