Calcul du logarithme intégral

[alexxx69]

Bonjour à tous,

Devant faire un exposé sur les nombres premiers et notamment la fonction ;)(x) qui représente la fonction de compte des nombres premiers, je suis tombé sur la page wikipédia très bien renseignée !!

Pour résumé, il est dit que cette fonction est proche de x/ln(x) pour des x grands mais plus proche du logarithme intégral li(x) qui n'est entre autre que :

intégrale de 0 à x de dt/ln(t)

Sur la page wiki des valeurs de li(x) sont données pour x allant de 10 à 1.10... mais je n'arrive pas à les retrouver par le calcul et malgré beaucoup de recherches, impossible de retrouver comment calculer li(25) par exemple ou li(1000).

Est-ce impossible ?

Merci pour vos réponses...

[Ben314]

Ben,.... tout dépend de ce que tu appelle "calculer"...

Certain programmes de calcul conaissent la fonction li(x), peut être certaines machines à calculer aussi...

Par contre, et c'est peut être ça le sens de ta question, on ne peut pas exprimes li(x) directement à l'aide des fonctions log, exp, racine nièmes et des opérations +, - , * , / ( pas plus que l'on ne peut exprimer le log à l'aide des racines et des opération +-*/ ni la fonction racine carrée à l'aide des seules opérations +,-,*,/...)

Edit : par exemple, Wolfram :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li%281000%29
connait le log intégral : li(1000) vaut environ 177.6
d'un autre coté, il connait aussi la fonction pi(x) : pi(1000)=168...

[JeanJ]

Bonjour,

Pour obtenir des valeurs numériques (aussi précises que l'on veut) :
La plupart des logiciels de maths possèdent la fonction li(x).
Si non, on peut le calculer numériquement à partir de l'intégrale qui défini li(x), par calcul numérique de cette intégrale, avec une méthode quelconque d'intégration numérique.
On peut également utiliser un développement en série (théoriquement infinie, mais que l'on limite lorque la précision souhaitée est atteinte). Voir par exemple la formule (14) du développement dans l'article ;
http://mathworld.wolfram.com/LogarithmicIntegral.html
li(25) = 11,51295645631..
li(1000) = 177,60965799015..
On peut aussi utiliser la fonction Ei(x) "exponentiel integral" qui est plus commune que li(x) dans les logiciels. En effet, la relation suivante donne :
li(x) = Ei(ln(x))

[alexxx69]

Merci pour vos réponses, et oui mon but était de calculer à la main li(x) comme le dit jean :

Si non, on peut le calculer numériquement à partir de l'intégrale qui défini li(x), par calcul numérique de cette intégrale, avec une méthode quelconque d'intégration numérique.

Je pensais que le calcul était un peu plus simple... car mes compétences ne sont pas assez importantes !!!