Calcul intégral

[Bill BM]

Bonsoir,

SVP je voudrais des indications pour calculer I= ;)x²exp(-x²)dx

[Aspx]

Bonsoir,

SVP je voudrais des indications pour calculer I= x²exp(-x²)dx

Intègre par partie.

[Antho07]

Je sais pas les bornes de ton integration mais si c'est une integrale impropre, par partie on peut faire apparaitre l'integrale de GAUSS.

Posons u(x)=X
v'(x)=Xe^(-X²)

[Bill BM]

Oui mais après une deuxième intégration par partie pour déterminer ;)e^-x², on a I à gauche et à droite de l'égalité et ils s'annulent

[Aspx]

Bonsoir,

SVP je voudrais des indications pour calculer I= x²exp(-x²)dx

Qu'elles sont les bornes d'intégration ?

[Bill BM]

Tel qu'elle m'a été donnée, y'en a pas. Si elles sont nécessaires, je demanderais demain

[Aspx]

Il me semble difficile qu'on demande une valeur explicite avec des bornes variables (ou alors on exprime le résultat à l'aide de )

Si les bornes sont et on utilise l'intégrale de Gauss :
[CENTER][/CENTER]

[Bill BM]

Je vais vérifier tout ça, c'est un peu étrange puisque cet exercice aurait été proposé à un concours niveau BAC+1. En tout cas demain j'aurais le coeur net . merci à toi

[Antho07]

Oui mais après une deuxième intégration par partie pour déterminer e^-x², on a I à gauche et à droite de l'égalité et ils s'annulent

Cette integral la n'est pas exprimable à l'aide de fonction usuelle.

En revanche, on peut montrer que



et vu la parité



En effet,
Notons I cet integrale.

Alors,
=
=


On fait le changement en polaire, c'est à dire en posant


et on obtient en oubliant pas le jacobien qui vaut r ici.



d'ou par fubini



=
=

d'ou




EDIT: Aspx a été plus rapide que moi :happy2: mais je suis d'accord avec lui, mise à part le cas ou les bornes sont l'infini (au moins une) impossible de l'exprimer

[Aspx]

@Antho07 : Je disais juste qu'on devait utiliser le résultat de Gauss pour arriver au résultat (qui est soit dit en passant).

Pour revenir à ta démonstration pour la valeur de l'intégrale de Gauss, il me semble que le changement en polaire n'est valable que sur une partie simple de (i.e réunion finie de parties élémentaires non recouvrantes) or n'est visiblement pas une partie simple.

J'ai vu en cours une démonstration avec encadrement par des intégrales partielles (on encadre par deux quarts de disque). J'aimerais bien être éclairé là dessus si quelqu'un est au courant des hypothèses réelles du théorème de changement de variable dans une intégrale double...

[Bill BM]

Thanks !!!

[Antho07]

@Antho07 : Je disais juste qu'on devait utiliser le résultat de Gauss pour arriver au résultat (qui est soit dit en passant).

Pour revenir à ta démonstration pour la valeur de l'intégrale de Gauss, il me semble que le changement en polaire n'est valable que sur une partie simple de (i.e réunion finie de parties élémentaires non recouvrantes) or n'est visiblement pas une partie simple.

J'ai vu en cours une démonstration avec encadrement par des intégrales partielles (on encadre par deux quarts de disque). J'aimerais bien être éclairé là dessus si quelqu'un est au courant des hypothèses réelles du théorème de changement de variable dans une intégrale double...

La valeur est bien

En ce qui concerne l'encadrement par les integrales partielles. Encadre ton integrale sur [0;A] *[0;A] par celle sur le quart de disque de rayon A et celui de rayon (le quart de cercle qui passe par le sommet en haut a droite de ton carre).
Fait ensuite tendre A vers l'infini de chaque coté et tu obtiendra pi/4 de chaque coté


En ce qui concerne la validite du changement de variable que j'ai fait je n'en sais rien à vrai dire, je l'ai vu effectue comme cela en cours.
Je l'ai egalement vu effectue avec l'encadrement, la solution que tu proposes.

Si quelqu'un peut nous éclairer sur ce point....

[Aspx]

En ce qui concerne l'encadrement par les integrales partielles. Encadre ton integrale sur [0;A] *[0;A] par celle sur le quart de disque de rayon A et celui de rayon \sqrt{2}A (le quart de cercle qui passe par le sommet en haut a droite de ton carre).
Fait ensuite tendre A vers l'infini de chaque coté et tu obtiendra pi/4 de chaque coté

Oui c'est bien ça. Les hypothèses du théorème de changement de variable dans les intégrales doubles que l'on m'a donné sont les suivantes :

et deux parties simples de , et
On suppose que est un difféomorphisme de . On a alors
[CENTER][/CENTER]

[Antho07]

Oui c'est bien ça. Les hypothèses du théorème de changement de variable dans les intégrales doubles que l'on m'a donné sont les suivantes :

et deux parties simples de , et
On suppose que est un difféomorphisme de . On a alors
[CENTER][/CENTER]

Qu'est qu'on appele partie simple?

[mathelot]

Oui c'est bien ça. Les hypothèses du théorème de changement de variable dans les intégrales doubles..

On suppose que est un difféomorphisme de . On a alors
[CENTER][/CENTER]

dévoiler une heuristique

Quant à , elle est positive et mesurable. Mesurable est une hypothèse minimaliste puisque (quasiment) toutes les fonctions sont mesurables, il faut aller chercher l'axiome du choix pour exhiber une fonction non mesurable. On met en valeur la dissymétrie des hypothèses: et , selon moi, ne jouent pas du tout le même rôle:
f est simplement positive, mesurable c'est juste l'expression d'un phénomène quantitatif (comme par exemple, une densité de probabilité). Par contre, les hypothèses sur sont énormes: est un -difféomorphisme. Dans ce cas particulier, ce sont les changements de coordonnées, cartésiennes vers polaires, ou polaires vers cartésienne, qui doivent être hyper-régulières. C'est un aspect géométrique: le domaine d'intégration doit être régulier, en particulier , le bord du domaine. représente la description du domaine: par exemple, un atlas et des cartes locales, où le point du domaine est paramètré par un système de coordonnées locales.

Finalement, tout ceçi va contre l'intuition première: très peu de contraintes sur la fonction à intégrer, contraintes énormes sur le domaine d'intégration. Parce que l'intégration est un processus sommatoire, de moyennage (intégrale=valeur moyenne d'une fonction)
et donc l'intégrande peut être très irrégulière, puisque elle est destinée à être sommée.
Si prend son expression la plus simple: 0 ou 1 aléatoirement,on obtient la méthode de Monte-Carlo de calcul d'aires.

Que se passerait-il si le domaine d'intégration était pathologique ? on aurait des phénomènes de bord, c'est à dire que les mesures intérieures et extérieures du domaine d'intégration ne seraient pas égales, d'autre part, la mesure du domaine dépendrait de l'ordre d'intégration dxdy ou dydx, enfin il serait possible qu'une primitive partielle ne donne pas une fonction mesurable.

Cette formule sommatoire est donc comme un "crochet de dualité" - mesure du quantitatif versus complexité spatiale - :


on pourrait s'amuser à faire exactement l'inverse concernant la dualité, considérer une intégrande extrêmement régulière, c'est à dire à support compact et le domaine d'intégration pathologique: dans cette optique, on quitte Henri Lebesgue pour entrer dans la "théorie des distributions" de Laurent Schwartz. Les formes linéaires deviennent alors un outil descriptif au service de la géométrie.

[Aspx]

dévoiler une heuristique

Quant à , elle est positive et mesurable. Mesurable est une hypothèse minimaliste puisque (quasiment) toutes les fonctions sont mesurables, il faut aller chercher l'axiome du choix pour exhiber une fonction non mesurable. On met en valeur la dissymétrie des hypothèses: et , selon moi, ne jouent pas du tout le même rôle:
f est simplement positive, mesurable c'est juste l'expression d'un phénomène quantitatif (comme par exemple, une densité de probabilité). Par contre, les hypothèses sur sont énormes: est un -difféomorphisme. Dans ce cas particulier, ce sont les changements de coordonnées, cartésiennes vers polaires, ou polaires vers cartésienne, qui doivent être hyper-régulières. C'est un aspect géométrique: le domaine d'intégration doit être régulier, en particulier , le bord du domaine. représente la description du domaine: par exemple, un atlas et des cartes locales, où le point du domaine est paramètré par un système de coordonnées locales.

Finalement, tout ceçi va contre l'intuition première: très peu de contraintes sur la fonction à intégrer, contraintes énormes sur le domaine d'intégration. Parce que l'intégration est un processus sommatoire, de moyennage (intégrale=valeur moyenne d'une fonction)
et donc l'intégrande peut être très irrégulière, puisque elle est destinée à être sommée.
Si prend son expression la plus simple: 0 ou 1 aléatoirement,on obtient la méthode de Monte-Carlo de calcul d'aires.

Que se passerait-il si le domaine d'intégration était pathologique ? on aurait des phénomènes de bord, c'est à dire que les mesures intérieures et extérieures du domaine d'intégration ne seraient pas égales, d'autre part, la mesure du domaine dépendrait de l'ordre d'intégration dxdy ou dydx, enfin il serait possible qu'une primitive partielle ne donne pas une fonction mesurable.

Cette formule sommatoire est donc comme un "crochet de dualité" - mesure du quantitatif versus complexité spatiale - :


on pourrait s'amuser à faire exactement l'inverse concernant la dualité, considérer une intégrande extrêmement régulière, c'est à dire à support compact et le domaine d'intégration pathologique: dans cette optique, on quitte Henri Lebesgue pour entrer dans la "théorie des distributions" de Laurent Schwartz. Les formes linéaires deviennent alors un outil descriptif au service de la géométrie.

Je me demande comment des gens peuvent être autant frais de bon matin ! :doh:
Merci mathelot pour ces indications. Tu précise que le bord du domaine où l'on intègre doit être régulier, j'en conclu que l'on ne peut l'appliquer à tout entier c'est bien ça ?

[mathelot]

le bord du domaine où l'on intègre doit être régulier, j'en conclu que l'on ne peut l'appliquer à tout entier

le bord de est . Il est régulier. Je pensais plutôt au flocon de Van Koch.