Calcul d'intégrales

[Maths-ForumR]

Bonjour,
Voici mon exercice concernant les intégrales :

1) Calculer, Intégrale(de 0 à PI) de e^2ipx dx

2) Pour tout entier n on pose : intégrale(de 0 à PI) de cos^n(x) cos(xn) dx.
a)Calculer J1
b)Calculer J2
c) Calculer Jn par linéarisation.


Voila mes réponses :
1) J'ai trouvé 1/2ip (1-e^2ipPI)
2)a) J'ai trouvé PI/2
2)b) J'ai trouvé PI/4

Mais 3 premières réponses sont elles juste et pouvez vous m'aider pour la dernière ?
Merci d'avance

[zaidoun]

p est un entier?? si oui, ta première intégrale est nulle.

Pour J_2, linéariser l'expression, tu trouves le résultat.

[Maths-ForumR]

1) Oui p appartient a Z

2) la J2 je l'ai déjà calculée et j'ai trouvé PI/4

C'est pour la 3)c) que je bloque

[Charmander]

où T_n est le n-ième polynôme de Tchebychev. Tu obtiens alors un polynômé de degré 2n en cosinus que tu peux intégrer monôme par monôme.

[Maths-ForumR]

0.0 excusez moi mais je n'est rien compris il ne fut pas utiliser les formule de trigo ?

[Charmander]

Le polynôme de Tchébychev permet de linéariser les puissances de cosinus et c'est ce que tu veux hein ? C'est la version forte de tes"formules de trigo" par exemple vient du le deuxième polynôme de Tchébychev

[Maths-ForumR]

Ah très bien mais c'est la 1er fois que j’utilise cette technique pouvez vous me montrer le commencement du calcul ou un exemple même différent de l'énoncé ?

[Charmander]

Dans les grandes lignes, en utilisant l'égalité tu as:

donc or le terme de droite tu le développes avec la formule du binôme de Newton, tu isoles les termes réels en regardant de la parité de la puissance de i et tu identifies. Tu obtiendras un polynôme en cosinus.
Je n'ai pas la formule exacte en tête mais si tu trouves vraiment pas google est ton ami

[Maths-ForumR]

D'accord merci je vais essayer de faire ça :)