Calcul intégrales à l'aide d'un changement de variable

par **Big Boy** » 20 Mai 2007, 16:12

Salut, je bloque pour calculer des intégrales, car je ne trouve pas le changement de variable; auriez-vous une astuce pour que je trouve facilement le changement à faire parce que pour moi, j'ai l'impression qu'il faut beaucoup d'intuition pour le trouver. Voici mes intégrales :

; et

.
Merci d'avance.

par **Rafar** » 20 Mai 2007, 16:32

Salut.

0 % d'intuition si tu connais les règles de Bioche :

Règles de Bioche sur wiki

par **fahr451** » 20 Mai 2007, 16:33

bonjour

règle de bioch?

1) t =cos x 2)t = tan(x/2)

par **Big Boy** » 20 Mai 2007, 17:36

Et pour calculer les intégrales suivantes je fais comment ?

Je vois que ce sont des fonctions rationnelles mais je n'ai pas compris comment on faisait pour l'exprimer en fonction de a, b et c.Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance.

par **fahr451** » 20 Mai 2007, 17:41

il faut savoir décomposer une fraction rationnelle

F = P/Q = somme d éléments simples

éléments simples dans C

1) polynôme = partie entière = quotient de la division euclidienne de P par Q

2) constante/ ( x-a)^k a étant une racine de Q non racine de P
1=< k =< n avec n multiplicité de a comme racine

dans R

1) idem

2) idem a réel

3) (cx+d)/ (trinôme irréductible sur R) ^k les racines du trinôme sont les racines complexes de Q

par **Rafar** » 20 Mai 2007, 17:42

Il faut faire une décomposition en éléments simples de tes fractions rationnelles avant de les intégrer...

Voir DES sur wiki

par **Rafar** » 20 Mai 2007, 17:43

lol, cette fois, c'est moi qui arrive après la bataille !

par **fahr451** » 20 Mai 2007, 17:44

Rafar a écrit:lol, cette fois, c'est moi qui arrive après la bataille !

la concurrence est rude )

par **Big Boy** » 20 Mai 2007, 17:54

Merci pour vos réponses. J'ai une derniere question, dans mon premier post, pour la deuxième intégrale, je pose donc u=tan(x/2), jarrive à écrire l'intégrale sous la forme (2du/(1+u^2))*(1/(2+sinx)). Comment je peux faire pour transformer mon sinx en quelquechose de u ?

par **kazeriahm** » 20 Mai 2007, 17:57

tu peux démontrer (grace a des calculs pas très sympa) que

sin x = 2*u/(1+u^2) et que cos x = (1-u^2)/(1+u^2) ou u=tan(x/2)

par **Big Boy** » 20 Mai 2007, 18:20

ok ok, j'ai un dernier problème :cry: pour la première intégrale de fraction rationnelle, j'obtiens que x^3/(x^2+x-2)=a/(x-1)+b/(x+2) mais comment je résoud ? le x^3 me pose problème après.
merci beaucoup de prendre le temps de me répondre.
++

par **Rafar** » 20 Mai 2007, 18:27

Comme te l'as indiqué Fahr451, il faut d'abord sortir la partie entière en réalisant la division euclidienne de x^3 par x^2+x-2 et ensuite seulement faire une décomposition en éléments simples sous la forme que tu annonces.

par **kazeriahm** » 20 Mai 2007, 18:29

effectue la division euclidienne de x^3 par x^2+x-2 comme te l'as dit fahr

x^3=Q(x)*(x^2+2x-2)+R(x), puis

x^3/(x^2+x-2)=Q(x)+R(x)/(x^2+x-2)=Q(x)+a/x-1+b/x+2

c'est la méthode générale pour décomposer en élements simples

par **Big Boy** » 20 Mai 2007, 19:10

J'ai une ultime question !!! comment je peux factoriser 2u^2+u+2 ? car pour l'intégrale ou je pose i=tan(x/2) j'obtiens 2du/(2u^2+u+2) ,donc je remarque que c'est une fonction rationnelle, mais j'arrive pas a factoriser.
merci encore de tout mon coeur :we:

par **Rafar** » 20 Mai 2007, 19:23

Tu ne peux pas factoriser sur

Il faut mettre sous forme canonique :

Ensuite tu fais le changement de variable

et tu te ramènes à une intégrale de la forme

ce qui te donne du

(j'espère ne pas m'être trop planté dans les calculs)

par **Big Boy** » 20 Mai 2007, 20:23

Ouh la, pas mal de calcul ,je trouve sa bizarre, peut etre je me suis trompé quelque part ? Pourriez pour m'aider, me montrer comment calculer l'intégrale de 0 à 1 de la fonction (2x-1)/(x+1)^2, car je trouve que (2x-1)/(x+1)^2=a/(x+1)+b/(x+1) mais alors après pour trouver le a et b :doh: pourtant j'applique comme il faut, peutre etre que ma décomposition du facteur est mauvaise, mais c'est la plsu simple qui me vient à l'esprit, et la seule.
Merci d'avance.

par **Rafar** » 20 Mai 2007, 20:34

fahr451 a écrit:
2) constante/ ( x-a)^k a étant une racine de Q non racine de P
1=< k =< n avec n multiplicité de a comme racine

D'après le point 2) donné par Fahr451 :

par **Big Boy** » 20 Mai 2007, 21:59

Mais là je suis perdu, je m'appretais a faire a/(x+1) + b/(x+1) , je ne comprends plus , pourquoi met on le premier dénominateur à la puissance de 2, et pas le deuxieme ?Je regardé sur wikipédia,et la méthode de fahr451 mais je comprends pas vraiment, dans mon cours j'ai du alpha, du beta,du a ... j'ai meme un exemple ou pour 1/x(x-1)^2 j'ai que c'est égal à a/x + b/(x-1)^2 + c/(x-1). D'où sort ce c/(x-1) ? Sinon si vous avez un lien qui explique en profondeur tout ça ce serait cool, au lieu que je vous embête de trop :we:

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