Calcul diff

[egan]

Salut tout le monde,

J'ai un petit doute sur un résultat.

Je me donne une fonction f de U, un sous-ensemble de , dans et .

Il existe un résultat qui dit que les deux assertions suivantes sont équivalentes:

-

- Il existe une fonction sur et telle que .

Ma question est la suivante:
Quelles sont les hypothèses à faire sur U ?

Je me souviens qu'il devait être ouvert dans la version qu'on m'avait donnée. Ne pourrait-on pas étendre tout ça aux fermés et donc laisser tomber les hypothèses d'ouverture et de fermeture ?

Si je me trompe pas, il faut aussi que U soit au moins connexe par arc, sinon il y une fonction par composante connexe.

Là où je commence à avoir un gros doute, c'est que je ne sais pas s'il faut imposer la connexité simple à U.

Voilà voilà.
Merci d'avance.

@+ Boris.

[Nightmare]

Hello,

moi j'ai même l'impression que U doit être convexe.

Je cherche un contre-exemple dans le cas connexe et/ou simplement connexe.

[Doraki]

il faut que chaque intersection de U avec les droites y=k soient des intervalles, et il faut aussi que U soit connexe par arcs sinon il peut y avoir des discontinuités.

[Nightmare]

Je crois que c'est bon :

On prend f(x,y)=0 sur (R-)² et y sinon et U= R² privé de la demi-droite ]-oo;0[x{0} qui est connexe simplement connexe.

[egan]

Du coup, avec U convexe ça marche tout le temps ? Et on se fiche de la fermeture ou de l'ouverture ?

[Nightmare]

Oui, ça marche avec U convexe ou plus généralement avec la condition énoncée par Doraki (vérifiée évidemment par les convexes).

Pour le caractère ouvert plutôt que fermé, on travaille avec des applications différentiables, et on ne définit le sens de telles applications que sur des ouverts.