Branchement régulier et fonction analytique

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Azenora
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Branchement régulier et fonction analytique

par Azenora » 06 Mai 2021, 15:59

Soit ϕ (z) la branche régulière de la fonction analytique \ sqrt {\ frac {1 + z} {1-z}} dans le domaine C ∖ [- 1,1] fixé par la condition ϕ (0 + i0) = limε → 0 ϕ (iε) = 1.Dans mon cas, je veux trouver ϕ (−i), sincèrement je ne peux pas dire ce que j'ai essayé car je ne sais pas quoi faire pour commencer.

Je sais que la réponse est : -\sqrt{i} ou sqrt{i} mais je ne sais pas le prouver.



GaBuZoMeu
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Re: Branchement régulier et fonction analytique

par GaBuZoMeu » 06 Mai 2021, 16:08

Bonjour,

Tu n'as pas dû recopier correctement la condition qui fixe la détermination. Tu as sans doute oublié un truc du genre " tend vers 0 par valeurs positives".

Azenora
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Re: Branchement régulier et fonction analytique

par Azenora » 06 Mai 2021, 16:15

GaBuZoMeu a écrit:Bonjour,

Tu n'as pas dû recopier correctement la condition qui fixe la détermination. Tu as sans doute oublié un truc du genre " tend vers 0 par valeurs positives".

Ce n'est pas précisé dans mon énoncé mais cela me parait logique, juste.

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Re: Branchement régulier et fonction analytique

par GaBuZoMeu » 06 Mai 2021, 16:18

Il n'y a pas un dans ton énoncé ?

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Re: Branchement régulier et fonction analytique

par Azenora » 06 Mai 2021, 16:20

Non ce n'est pas précisé

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Re: Branchement régulier et fonction analytique

par GaBuZoMeu » 06 Mai 2021, 16:23

Si la détermination a limite 1 quand on approche 0 par dessus, quelle est la limite quand on approche 0 par dessous ?

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Re: Branchement régulier et fonction analytique

par Azenora » 06 Mai 2021, 16:32

GaBuZoMeu a écrit:Si la détermination a limite 1 quand on approche 0 par dessus, quelle est la limite quand on approche 0 par dessous ?

Je ne sais pas mon prof nous a juste donner ça, donc si vous avez un suggestion en supposant que votre hypothèse est juste je demanderais à mon prof quand je le reverrai.

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Re: Branchement régulier et fonction analytique

par GaBuZoMeu » 06 Mai 2021, 16:42

La question que je t'ai posée ne dépend pas de l'énoncé. Aussi je te demande d'y réfléchir.

Suggestion : partant d'un poil au dessus de 0, tu vas vers la gauche, fais le tour de -1 et reviens vers la droite un poil en dessous de 0. Tu peux réfléchir séparément à ce qui se passe pour la détermination de et celle de le long de ce chemin.

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Re: Branchement régulier et fonction analytique

par Azenora » 07 Mai 2021, 12:22

En réfléchissant séparément, j'en déduit que les arguments de \sqrt{1+z} et sqrt{1-z} sont les mêmes et donc que l'argument de \sqrt{1+z} /sqrt{1-z} est 0. Maintenant on veut déterminer le module de cette branche ?

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Re: Branchement régulier et fonction analytique

par GaBuZoMeu » 07 Mai 2021, 12:32

Non, ce n'est pas correct. As-tu bien suivi ma suggestion ?
Que se passe-t-il pour l'argument de quand on suit le chemin que j'ai indiqué ?

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Re: Branchement régulier et fonction analytique

par Azenora » 07 Mai 2021, 15:38

Il va de \pi/2 à -\pi/2 ?

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Re: Branchement régulier et fonction analytique

par GaBuZoMeu » 07 Mai 2021, 15:53

Ben non. On part de z=0 (un peu au-dessus) et on revient à z=0 (un peu en-dessous), donc avec argument 0 ou .

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Re: Branchement régulier et fonction analytique

par Azenora » 07 Mai 2021, 16:14

D'accord mais si on fait la même chose pour \srqt{1-z} l'argument vaut aussi 0 ou \pi

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Re: Branchement régulier et fonction analytique

par GaBuZoMeu » 07 Mai 2021, 18:26

Je reformule la question, puisque tu sembles ne pas voir exactement où on va.

As-tu bien compris le chemin que je veux te faire suivre pour aller de 0 (un peu au-dessus) à 0 (un peu en-dessous) en tournant autour de - 1 ?
Si au début du chemin on est avec la détermination de égale à 1 pour z=0 (donc d'argument 0), avec quelle détermination est-on à la fin du chemin ?
Même question pour .

Ta réponse de "de \pi/2 à -\pi/2" ne va pas, bien sûr, puisqu'on part dans les deux cas avec un argument nul. Je voudrais une réponse correcte.

 

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