Lien aire / périmètre dans un polygone régulier

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lbizer
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lien aire / périmètre dans un polygone régulier

par lbizer » 07 Aoû 2012, 15:44

Bonjour, excusez moi de vous déranger, je prépare actuellement le CRPE et butte sur un exercice en géométrie.

Voici l'énoncé :

On considère un polygone régulier A1, A2 ... An à n côtés, de centre O, où n est un entier supérieur ou égal à 3. On notre r le rayon du cercle C inscrit au polygone.

a) Pour n = 6, construire le polygone et le cercle C.
b) On note P le périmètre du polygone et A son aire. Montrer que A = Pr/2

Bon pour tracer aucun problème.
Mais pour le petit b, dans le cas de l'hexagone on doit obtenir A = 3r²
Or par calcul, je trouve A = (3 x rac(3)x r² ) / 2

Je viens d'y passer deux heures. Je suis certaine que c'est une erreur toute bête qui me bloque mais à tout hasard si l'un d'entre vous trouve le temps de me l'expliquer ça serait vraiment gentil ! :we:
Merci d'avance et bonne journée !



Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 07 Aoû 2012, 15:54

Kikoo,

On considère qu'un n-gone régulier est constitué de n triangles isocèles en O, centre du cercle circonscrit à celui-ci.
Soit r son rayon.

Nous calculons directement le périmètre du n-gone en le décomposant en n côtés, dont la mesure se déduit grâce à de la trigo sur les triangles isocèles.
Tu peux également calculer l'aire de chaque triangle facilement, pour ensuite multiplier par n. Il est important de regarder chaque triangle isocèle comme étant deux triangles rectangles collés l'un contre l'autre.

lbizer
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par lbizer » 07 Aoû 2012, 16:43

Merci de répondre si rapidement !

De le cas de l'hexagone, les triangles sont équilatéraux donc les côtés du polygone sont égaux aux rayons. On a donc P = nr = 6r
Pr/2 = (6r x r)/ 2 = 3r²

Mais lorsque je calcule l'aire des triangles je trouve :

Que la hauteur d'un des triangles mesure (rac(3) x r)/ 2

Ainsi l'aire d'un triangle est de : ((r x rac(3) x r)/ 2)/ 2 soit a = (rac(3) x r²)/ 4

L'aire totale du polygone est donc A = 6a
= (3 x rac(3) x r²)/ 2

Je ne trouve donc pas le résultat demandé... Alors, soit je n'ai pas compris tes conseils, auquel cas je suis désolée, soit je fais une erreur de calcul quelque part mais je n'arrive pas à trouver laquelle.... Peut être ma mesure de la hauteur n'est pas bonne mais je trouve ce résultat en passant par sin60° ou le théorème de Pythagore...

L'un d'entre vous arrive-t-il au résultat Pr/2 = A en passant par l'exemple de l'hexagone ? J'espère une erreur de sujet même si ça me semble peu probable...

wserdx
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par wserdx » 07 Aoû 2012, 16:49

Oui, l'erreur est toute bête, tu as confondu le cercle inscrit (tangent aux côtés du polygone) avec le cercle circonscrit (passant par par les sommets du polygone)

lbizer
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par lbizer » 07 Aoû 2012, 18:38

wserdx a écrit:Oui, l'erreur est toute bête, tu as confondu le cercle inscrit (tangent aux côtés du polygone) avec le cercle circonscrit (passant par par les sommets du polygone)


Merciiiii ! Et oui c'est ma lecture qui n'a pas été attentive et cela change biensur tout !
J'ai planché sur mes calculs tout l'après-midi et vous m'enlevez une belle épine du pied !

Bonne journée et merci pour votre aide

C.Ret
Membre Relatif
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par C.Ret » 07 Aoû 2012, 18:40

wserdx a écrit:Oui, l'erreur est toute bête, tu as confondu le cercle inscrit (tangent aux côtés du polygone) avec le cercle circonscrit (passant par par les sommets du polygone)


Ah! Zut, en cherchant à reproduire l'excercice, j'ai fait la même erreur !
Bon, je changerais pas, tojours aussi "tête en l'air".

Comme quoi, rien de tel qu'une bonne figure pour bien commencer un exo.

Image

Kikoo <3 Bieber a écrit:Nous calculons directement le périmètre du n-gone en le décomposant en n côtés, dont la mesure se déduit grâce à de la trigo sur les triangles équilatéraux.


On peut éviter l'usage à toute trigonométrie.

Le polygone est régulier, chacun de ces cotés a une longueur égale à AB.
Son périmètre P est donc .

Quand à sa surface, elle se déduit effectivement en le décomposant en n triangles équilatéraux semblables. Or l'aire d'un triangle est égale au produit de sa demi-hauteur par sa base. Comme on peut le constater sur la figure, la hauteur de chacun des triangles se confond avec un rayon du cercle. On a donc

On a donc bien

lbizer
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par lbizer » 08 Aoû 2012, 00:36

Oui merci :-) une fois qu'on lit attentivement l'énoncé la résolution est vraiment simple. Je pense que l'erreur réside dans le fait que l'on trace le cercle circonscrit afin de construire facilement l'hexagone, il est du coup difficile d'envisager que l'énoncé parle du cercle inscrit. J'ai refais mes calculs cent fois sans penser à relire le problème. Au moins, si je bloque au concours, je saurai que le fait de relire peut parfois résoudre bêtement une difficulté :-) bonne soirée à tous et encore merci.

 

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