Boule dans L(infini)

[Nicolas59]

Bonsoir

Je m'interroge sur ce qu'est une boule dans L infini.
Par exemple:
Une boule fermée de centre 0 et de rayon 1 dans l'espace des suites à valeurs réelles et bornées,

je me dits que c'est un ensemble de suite, le centre est lui même une suite? la suite des zéros?

Ou bien ça veut dire qu'un élément de cette boule est une suite dont les valeurs sont comprises entre 0 et 1, tout simplement?

Et aussi, je ne comprends pas pourquoi un élément de BF(0,1) (donc une suite) a pour norme infini le N(Un) =sup|Un|=1 au lieu de N(Un) = sup |Un| <=1 (norme infini de l'espace L infini), puisque qu'on est dans une boule de rayon 1...

[Doraki]

Oui, le 0 dans "B(0,1)" c'est la suite nulle, qui ne contient que des zéros.

B(la suite nulle,1) = {suites u / N(u - la suite nulle) <=1}
= {suites (un) / Sup des |un - 0| <= 1}
= {suites (un) / Sup des |un| <= 1}
= l'ensemble des suites dont tous les termes sont compris entre -1 et 1.

[Nicolas59]

Bien , il y a deux choses que je ne comprends dans la preuve que BF(0,1) est un fermé borné mais pas un compact. Voici le premier point qui me pose problème.


On pose, pour tout k, une suite X indice k = (0,0,0,0,....,1,0,0,0,0) où le k-ième élément vaut 1.

(Pour tout K, la suite indice k vaut 0 si n différent de k et 1 si n=k)

alors pour tout k , la suite suite indice k prise dans L(infini) ; N(U indice k) = sup |Un indice k| = sup| Un| = 1

donc la suite indice k appartient à BF(0,1).
On dit en fait que toute suite de type Un indice k définie au dessus prise dans L(infini) appartient à BF(0,1).

A ce stade , on a prouvé quoi, que l'ensemble est fermé ou que l'ensemble est borné?
SI c'est pour montrer qu'il est fermé:
Rigoureusement, j'aurais pris une suite d'éléments de BF(0,1) et j'aurais dit que sa limite est dans BF(0,1). C'est la méthode pour montrer qu'un ensemble A de X est fermé dans X...

[Doraki]

Comme c'est une boule fermée, bah c'est un fermé et c'est borné, c'est quasiment la définition de "boule fermée".

Le truc difficile à montrer c'est que cette boule fermée n'est pas compacte, et c'est là que tes suites Xk servent à quelquechose.

[Nicolas59]

Ok Ok donc je poste le reste la preuve,

Comme on dit que toutes les suites U indice k sont dans BF(0,1), à mon avis la phrase qui manque pour m'éclaircir les idées : c'est

" comme toutes les suites U indice k sont dans BF(0,1) , sa limite est dans BF(0,1)"

ai je raison d'ajouter cette phrase?

Et si on note sa limite U indice l, la norme infini ,ie: sup |U indice k - U indice l | va tendre vers 1 différent de 0, donc je suppose que c'est la non convergence uniforme?

donc aucune valeur d'adhérence ( et là je vois pas lien entre convergence uniforme et valeur d'adhérence, puisque non convergence uniforme n'implique pas divergence simple)

[Skullkid]

" comme toutes les suites U indice k sont dans BF(0,1) , sa limite est dans BF(0,1)"

ai je raison d'ajouter cette phrase?

Non, cette phrase ne veut rien dire... Je suppose que tu voulais dire quelque chose comme "tous les Uk appartiennent à BF(0,1) donc la limite de la suite des Uk appartient également à BF(0,1)", ce qui est faux : nulle part tu n'as prouvé que la suite des Uk convergeait.

De plus, cette suite sert justement à prouver que la boule unité n'est pas compacte, donc il faut que tu montres qu'elle n'a aucune valeur d'adhérence. En particulier, elle n'est pas convergente, donc tu ne peux pas parler de sa limite.

[Nicolas59]

On a N(Uk - Ul) = sup |Uk - Ul| = 1 pour tout k,l et n fixé ( en fait j'ai pris deux suites explicitées comme au dessus
et là je vois pas le rapport avec la divergence

[Doraki]

Tu dois montrer qu'aucune suite extraite de ta suite (Uk) ne peut converger vers qui que ce soit.
Faut raisonner par l'absurde. Tu supposes qu'il y a une suite extraite qui converge vers un truc L et t'en déduis un truc impossible genre que à un moment y'a N(Uk-L) < 1/3 et N(Uk'-L) < 1/3 aussi, et donc que 1 = N(Uk,Uk') <= 1/3 + 1/3 = 2/3.