Bijection et application

[Georges10]

Bonjour à tous.

Svp j'aimerais savoir, par exemple si on a deux applications f et g telles que fog soit définie. Est ce que si fog est bijective cela implique que f est surjective et g est injective ?

Merci d'avance !

[pascal16]

fog appliqué à un élément c'est :
un élément -> g -> f -> élément final.

fog bijective c'est
1) tout élément de l'ensemble d'arrivé admet un antécédent
que peut-on dire sur " f -> élément final." donc sur f ?
2) l'unicité
si 2 éléments admettent par g la même image, auront-il la même image finale ?
est-il alors possible que fog soit bijective

Y a plus joli comme rédaction

[Georges10]

Bonjour
Merci pour ta réponse

Autre chose est ce que la proposition B = C <=> A U B = A U C est vraie ?

Merci d'avance et bonne journée !

[mathelot]

bonjour,
soit

posons (*)
est bijective de E dans G
en composant à gauche par dans (*)


g injective

soient dans E tels que


d'où

f surjective
en composant à droite par dans (*)


pour tout

donc

donc f est surjective.

[mathelot]

Autre chose est ce que la proposition B = C <=> A U B = A U C est vraie ?

Merci d'avance et bonne journée !

on a évidemment
soit un ensemble A fixé: B = C => A U B = A U C
la réciproque est fausse:
prendre pour B et C deux parties de A distinctes

[mathelot]

je simplifie la preuve (avec les mêmes notations):
soit
on compose par f

est injective
dc
donc est injective


soit y appartenant à G.
est surjective
il existe tel que


donc f est surjective

[Georges10]

Merci pour ta réponse !