Base de R³

[georgess]

Bonsoir , je pose (e1,e2,e3) base canonique de R³ et je dois montrer que la famille des 3 vecteurs

b1 = e1+e2+e3
b2 = e1+e3
b3 = ae1 + e2 ( a est une réel )

forment une base de R³ .

Voici ce que je propose :

b1 = (1,1,1)
b2 = (1,0,1)
b3 = (a,a+1,a)

Donc je dois résoudre le système
x + y + za = 0
x + za + z = 0
x + y + za = 0

mais ça colle pas on trouve pas que des 0 donc la famille est pas libre , je me suis trompé de méthode ?

merci de votre aide .

[rifly01]

Bonjour,

Si ta matrice est celle-là : alors on voit bien que si a = 0 ou a = 1 => deux colonnes proportionnelles donc ta famille n'est pas libre donc pas de base.

[fatal_error]

Bonjour,

peut etre que je me trompe, mais la matrice n'est pas :
b1 b2 b3
1 1 a e_1
1 0 1 e_2
1 1 0 e_3

?
Au quel cas les trois colonnes sont non liées.

[georgess]

fatal error je vois pas trop le rapport entre ta matrice et les vecteurs b1 b2 b3 , ya pas une petite erreur ?

[fatal_error]

b1 = e1+e2+e3
b2 = e1+e3
b3 = ae1 + e2 ( a est une réel )
b1 b2 b3
1 1 a
1 0 1
1 1 0

J'ai posé les vecteurs b1,b2,b3 en colonne, apres, il est possible que la manière dont je procède soit fausse... :marteau:

[georgess]

j'ai vérifié , ce systeme :

x + y + az = 0
x + z = 0
x + y = 0

x+y = 0
-y+z = 0
az = 0

donc z = 0 , y = 0 , x = 0

le système est donc libre t'es d'accord ? :)

[fatal_error]

vivi, ca me parait good :we:

[leon1789]

x + y + az = 0
x + z = 0
x + y = 0

x+y = 0
-y+z = 0
az = 0

donc z = 0 , y = 0 , x = 0

si a non nul !