Base

[pluie2]

Bonjour à tous, j'aimerais avoir une aide pour cet exercice :


Soit u1=(1,-1,2,3), u2=(-2,1,1,-1), u3=(-4,1,7,3), u4=(0,1,-1,3), u5=(-1,0,3,2) et u6=(-2,3,3,13). Déterminer une base et une dimension de F=Vect(u1,u2,u3), G=Vect(u4,u5,u6) et H=Vect(u1,u2,u3,u4,u5,u6)

J'ai fait :

Pour F:

Je résous:
x-2y-4z=0
-x+y+z=0
2x+y+7z=0
3x-y+3z=0

Je dois montrer que la famille est libre donc dim(F)=3 et une base de F est u1, u2 et u3.

Même méthode pour G

pour la dernière par contre, je ne sais pas s'il faut résoudre un système composé de 6 équations ça me parait long. Comment faut il s'y prendre ?

Merci !

[zygomatique]

salut puisque tu travailles dans R^4 au moins deux des six vecteurs sont en trop ...

et donc il suffit de te servir de la question 1/

ce n'est pas "une" dimension mais "la" dimension

...mais comme tu ne nous donnes pas les résultats pour G ....

[Victhemath]

Bonjour à tous, j'aimerais avoir une aide pour cet exercice :


Soit u1=(1,-1,2,3), u2=(-2,1,1,-1), u3=(-4,1,7,3), u4=(0,1,-1,3), u5=(-1,0,3,2) et u6=(-2,3,3,13). Déterminer une base et une dimension de F=Vect(u1,u2,u3), G=Vect(u4,u5,u6) et H=Vect(u1,u2,u3,u4,u5,u6)

J'ai fait :

Pour F:

Je résous:
x-2y-4z=0
-x+y+z=0
2x+y+7z=0
3x-y+3z=0

Je dois montrer que la famille est libre donc dim(F)=3 et une base de F est u1, u2 et u3.

Même méthode pour G

pour la dernière par contre, je ne sais pas s'il faut résoudre un système composé de 6 équations ça me parait long. Comment faut il s'y prendre ?

Merci !

Je ne suis peut-être pas le mieux placé pour t'aider mais que pense que tu peux exprimer certains vecteurs comme combinaison linéaire en fonction des autres . En gros que u5=u1+u2 sauf erreur. Tu essaies de chercher des combinaisons linéaires comme cela jusqu'à obtenir la sous-famille libre avec le moins de vecteur possible.
Cette méthode est justifiée par le fait que le rang est stable par opérations élémentaires.

[pluie2]

D'accord.

Pour la a) :

F=Vect(u1,u2,u3)
x-2y-4z=0
-x+y+z=0
2x+y+7z=0
3x-y+3z=0

x-2y-4z=0
-y-3z=0
-5y-15z=0

Je trouve x=y=0 famille libre, dim(F)=3 et base (u,1u2,u3)
b) G=Vect(u4,u5,u6) avec u4=(0,1,-1,3), u5=(-1,0,3,2) et u6=(-2,3,3,13)
-y-2z=0
x+3z=0
-x+3y+3z=0
2x+2y+13z=0

-y-2z=0
x+3z=0
3y+6z=0
-7z-2y=0

-y-2z=0
x+3z=0
0=0
3z=0 donc x=x=y=0 dim(G)=3 et Base=u4,u5,u6

c) Par ocmbinaison linéaire pour la dernière mais comment l'écrire sous la forme d'une système ? dois je calculer le rang ?

pouvez vous me détailler le raisonnement les calculs à suivre pour la dernière merci

[zygomatique]

puisque Dim F + Dim G = 6 et que Dim (F + G) =< 4 = Dim (R4) au moins 2 vecteurs sont "en trop"

comme victhemath l'a remarqué u5 = u1 + u2 ... donc regarde pour éliminer les vecteurs "en trop" ...

[pluie2]

u5=u1+u2
je ne trouve rien d'autre il reste 5 vecteurs du coup mais c'est toujours trop

comment trouver les relatiosn de manière efficace ? il n'y a pas de méthode ?

[pluie2]

avez vous trouvé d'autres relations ? car moi je n'y arrive pas :(

[zygomatique]

et bien tu te fatigues un peu !!! ....

[Ben314]

Salut,
Perso, je pense que l'objectif de l'exercice, c'est bel est bien de te faire résoudre le système
aU1+bU2+cU3+dU4+eU5+fU6=0 à 6 inconnues (et 4 équations)
Ce n'est pas super compliqué et ça te donne les solutions aux 3 questions vu que ça va te dire très précisément quels vecteurs on peut écrire en fonctions de quels autres :
Par exemple, savoir si on peut écrire U4 en fonction de U1,U2 et U5, ça veut dire regarder s'il y a une solution au système çi dessus avec d=1 (pour U4), et c=f=0 (pas de U3 ni de U6).

Donc pour la question 1), tu regardera ce que donne les solutions telles que d=e=f=0,
pour la question 2) celles telles que a=b=c=0
pour la question 3), tu regarde... tout...

[pluie2]

oui j'essaie mais je n'ai pas de méthodes mis à part le "bidouillage" j'aimerais poser un système pour connaitre les relations entre les vecteurs mais je ne sais pas lequel

[pluie2]

bonjour,

pour a) b) ce n'est pas bon ce que j'ai écrit ?

c) en résolvant le système je trouve :

x-2y-4z-w-2t=0
-x+y+z+a+3t=0
2x+y+7z-a+3w+3t=0
3x-y+3z+3a+2w+13t=0

en résolvant je trouve a=t=0
donc il me reste :

x+2z+w=0
-y-3z-w=0

soit
x+2z+w=0
x-y-z=0

et à partir de là ? comment faire le lien pour répondre à la question?

[Ben314]

Revoie tes calculs : je trouve ça comme solutions :
x+2z+w+2t=0
y+3z+w+2t=0
a+3t=0
La 4em équation disparait vu quelle se déduit des 3 premières : (en fait L4=4.L1+5.L2+2.L3)
Que l'on peut écrire
x=-2z-w-t
y=-3z-w-2t
a=-3t
et qui signifie que l'on peut écrire les vecteurs U3,U5,U6 (<-> z,w,t) en fonction de U1,U2,U4 (<-> x,y,a).
Par exemple, pour écrire U5, on prend w=1, z=t=0 (donc pas de U3 ni de U6) et on calcule x,y,a ce qui donne x=-1, y=-1, a=0 donc -U1-U2+U5=0, c'est à dire U5=U1+U2.

Ça montre aussi que U1,U2,U4 est libre vu que l'équation x.U1+y.U2+a.U4=0 revient à l'équation précédente où on a pris z=w=t=0 et qu'on voit qu'alors la seule solution est x=y=a=0.

Après, pour la question 1), il suffit de prendre la même chose mais avec a=w=t=0 (pas de U4, ni U5, ni U6) donc on trouve :
x=-2z
y=-3z
0=0
qui montre que U1,U2 est libre mais que U3=2U1+3U2

[pluie2]

d'accord mais j'ai un peu de mal à comprendre ce que vous voulez dire ici :
et qui signifie que l'on peut écrire les vecteurs U3,U5,U6 (<-> z,w,t) en fonction de U1,U2,U4 (<-> x,y,a).
Par exemple, pour écrire U5, on prend w=1, z=t=0 (donc pas de U3 ni de U6) et on calcule x,y,a ce qui donne x=-1, y=-1, a=0 donc -U1-U2+U5=0, c'est à dire U5=U1+U2.

mais du coup, quelle base dois je prendre pour répondre ) la question ? B=(u1,u2,u4) et dim=3 ?

[Ben314]

Ecrit sous cette forme :
x=-2z-w-t
y=-3z-w-2t
a=-3t
Les équations te disent qu'on peut prendre z,w,t totalement au pif et qu'on aura une solution.
ça te dit donc qu'on peut prendre
z=1, w=t=0 qui te dit que U3 s'écrit en fonction de U1,U2,U4
w=1, z=t=0 qui te dit que U5 s'écrit en fonction de U1,U2,U4
t=1, w=z=0 qui te dit que U6 s'écrit en fonction de U1,U2,U4

Il ne faut évidement jamais perdre de vue que les équations en question, ben tu les a pas "tirées d'un chapeau" : tu as résolu le système x.U1+y.U2+z.U3+a.U4+w.U5+t.U6=0 donc chaque solution (x,y,z,a,w,t) de ton système te donne une relation concernant les vecteurs U1,U2,...,U6.

Aprés, effectivement, vu la façon dont on a exprimé les solutions (i.e. x,y et a en fonction de z,w,t) ça te dit immédiatement que U1,U2,U4 est une base de H.
Mais il faut bien voir qu'on aurait pu donner les solutions du système sous une autre forme, par exemple x,y et t en fonction de z,w,a :
x=-2z-w+a/3
y=-3z-w+2a/3
t=-a/3
Ce qui montre que U1,U2,U6 est aussi une base de H...

[pluie2]

j'ai refait le système mais je retombe toujours sur a=0

je ne comprends pas pourquoi...

pouvez vous me détailler vos calculs?

Voici les miens :

a-2b-4c-e-2f=0
-a+b+c+d+3f=0
2a+b+7c-d+3e+3f=0

a-2b-4c-e-2f=0 L1
-b-3c+d-e+f=0 L1+L2
-5b-15c+d-5e-5f=0 2L1-L2


a+2c+e-2d=0
-b-3c-e+d+f=0
5a+10c+5e-2d=0

-8d=0
-5b+5a-5c+3d+5f=0 5L2+L3
5a+10c+5e-2d=0 L3

?

[pluie2]

par contre je pense que pour la pemière la dimension est 2 mais je ne suis pas sure

[Ben314]

Après, pour la question 1), il suffit de prendre la même chose mais avec a=w=t=0 (pas de U4, ni U5, ni U6) donc on trouve :
x=-2z
y=-3z
0=0
qui montre que U1,U2 est libre mais que U3=2U1+3U2

Donc F est de dim 2 et une base est {U1,U2} (mais ce n'est évidement pas la seule...)

De même pour la 2), c'est exactement la même chose, mais cette fois on a imposé x=y=z=0 et ça donne...

[pluie2]

ok pour la 1)

u4=(0,1,-1,3), u5=(-1,0,3,2) et u6=(-2,3,3,13)

-b-2c=0
a+3c=0
-a+3b+3c=0
3a+2b+13c=0

non je pense que la b) et bien de dim 3 par contre

vous êtes sur?

[Ben314]

Dans le truc général avec les 6 vecteurs :

x+2z+w+2t=0
y+3z+w+2t=0
a+3t=0

si on prend x=y=z=0 (pas de U1, ni de U2, ni de U3), on obtient
w+2t=0
w+2t=0
a+3t=0
c'est à dire (par exemple)
w=-2t
a=-3t
Donc {U4,U5} est libre (pas de U6 t=0 et dans ce cas la seule solution est w=a=0) mais par contre U6=3U4+2U5 (t=1 donne a=-3 et w=-2 qui signifie que -3U4-2U5+U6=0) :
G est de dim 2 et une base (parmi d'autres) est {U4,U5}