Base

[sad13]

Bonsoir, je voudrais une méthode assez facile pour résoudre cet exo car celle que j'ai est assez compliquée :

voici l'énoncé:

Soit (e1,e2,.....,en) un système de vecteurs d'un espace euclidien E de dimension n tel que, pour tout vecteur x de E, on ait: ||x||²= Somme i=1 à n (ei,x)².

Montrer que c'est une base orthonormée de E.

merci

[arnaud32]

que remarques tu si x=e_k?

[Doraki]

A mon avis il faut prendre plus de vecteurs que ça pour montrer ce qu'il faut.

Il faut observer que, en prenant un vecteur x = somme des Ai ei, l'hypothèse dit qu'un certain polynôme de degré 2 de R[A1...An] est identiquement nul, et donc ses coefficients (à savoir les pour i différent de j et les ²-) sont nuls.
Donc la famille est orthogonale, et si elle contient pas de vecteurs nuls, elle est est normée.

[arnaud32]

te donne
donc pour

[Doraki]

ben non ça donne = ² + ... + ² + ... + ².
Le ne se simplifie pas avec le ², même si on en a très envie je dois l'admettre.

[arnaud32]

Oups autant pour moi!

[sad13]

merci donc ?

[Maxmau]

Soit (e1,e2,.....,en) un système de vecteurs d'un espace euclidien E de dimension n tel que, pour tout vecteur x de E, on ait: ||x||²= Somme i=1 à n (ei,x)².

Montrer que c'est une base orthonormée de E.

merci

Bj
||x||²= Somme i=1 à n (ei,x)² (A)
cette égalité de formes quadratiques impliquent l'égalité de leurs formes bilinéaires associées d'où:
(x,y) = Somme i=1 à n (ei,x)(ei,y) (B) (x,y): produit scalaire des vecteurs x et y
Les formes linéaires (ei,.) constituent une base de E* (dual de E)
On peut donc considérer la base duale de E: f1 , f2 , ...., fn
D'où: (ei,fj) = 1 pour i=j et =0 sinon (C)
En utilisant (B) (f1,f2) = Somme i=1 à n (ei,f1)(ei,f2) =0 d'après (C)
De même (f1,f1) = 1
En généralisant on trouve que la base f1 , f2 , ...., fn est orthonormée
Enfin (C) entraine alors ei = fi