Base de diagonalisation ?

[Wenneguen]

Bonjour,

je ne comprends pas très bien comment déterminer une base de diagonalisation. Apparemment, dans le cas d'une matrice diagonalisable, une base de diagonalisation serait formée des vecteurs propres associés aux valeurs propres de la matrice : pourquoi ? Mon prof nous l'a à peine expliqué ( j'ai quasiment dû le deviner en fait ) comme si c'était évident, mais en fait je n'en comprends pas la raison.
De plus, quelles sont les conditions à bien respecter concernant le choix et la place de tels vecteurs dans la base de diagonalisation ?

Merci ! :we:

[Nightmare]

Salut,

Ce qui est plus ou moins compliqué, c'est le fait que les vecteurs propres forment une base.

Mais en admettant ceci, le fait que dans cette base la matrice soit diagonale est immédiat par définition d'un vecteur propre : Si x est vecteur propre, f(x)=kx pour un certain réel k.

Donc si (v1,...,vn) est une base de vecteurs propre, f(v1)=k1 v1, f(v2)=k2 v2 etc... et on voit bien que la matrice obtenue est une matrice diagonale dont les coefficients sur la diagonales sont les ki (qui sont les valeurs propres).

Tu peux démontrer que le choix de l'ordre des vecteurs ne change pas grand chose si ce n'est la tête de la matrice, mais elle représentera toujours le même endomorphisme.

[sylvainc2]

On diagonalise A en calculant D = P^(-1) A P soit PD=AP.
Pour simplifier je vais utiliser P,D,A des matrices 2x2. D est diagonale donc D=
d1 0
0 d2
Et P1, P2 sont les colonnes de P.
Si on développe les produits PD à gauche et AP à droite du signe égal, la colonne 1 à gauche doit être égale à la colonne 1 à droite et même chose pour la colonne 2. Donc on obtient les deux équations :
d1 P1 = A P1
d2 P2 = A P2
Ça vaut dire que, par définition, d1 et d2 sont les valeurs propres de A et P1, P2 les vecteurs propres, et ceux-ci doit être linéairement indépendants car P doit être inversible. Donc ils forment une base de R2. On peut faire le même raisonnement pour des matrices n x n.

[Wenneguen]

D'accord je comprends, oui en effet c'est plutôt immédiat une fois qu'on se rappelle ce que représentent les colonnes de la matrice de l'application par rapport à la base dans laquelle elle est exprimée.
Mais finalement, quel est l'intérêt de s'intéresser à la matrice de passage et à son inverse ?
Ne peut-on pas calculer directement la matrice diagonale dans la base de diagonalisation ?

[Nightmare]

La matrice de passage comme son nom pourrait l'indiquer nous dit comment on passe de la matrice d'origine à sa forme diagonale, ce qui n'est pas inutile, surtout si on veut revenir à la matrice d'origine à un moment.

[Wenneguen]

D'accord très bien, mais dans le cas d'une stricte diagonalisation on n'a pas à s'en préoccuper ( si ce n'est qu'elle, ou son inverse ça dépend de ce qu'on appelle la matrice de passage, correspond à la base de diagonalisation ). J'ai bon ? :zen:

[Wenneguen]

Une autre question un peu plus pratique : dans un livre, lors de la recherche du sous-espace propre E1 associé à la valeur propre 1 d'une matrice 3x3, il est dit :

On obtient le sous-espace vectoriel propre associé à la valeur propre 1 en résolvant le système AX = X, soit :

{ [un système de 3 équations dont le détail importe peu]

Ce système est équivalent à x= y = - z Ainsi E1(A) = où = (1,1,-1)

Ma question est : l'équation x=y=-z étant celle d'un plan et la forme proposée pour E1(a) correspondant à celle d'une droite, n'y a-t-il pas une incohérence ?

Merci

EDIT : l'équation(s) est bien celle(s) d'un plan, autant pour moi ! :happy2:

[Nightmare]

C'est l'inverse, ces équations sont des équations de droite.

x=y, c'est une équation de plan. Si on rajoute la contrainte -z=x=y, on arrive à une droite.