Base en algèbre linéaire

[teamprepa]

Bonjour, j'ai un exercice dalgèbre linéaire ou je dois montrer qu'une famille forme une base. On ne connait pas la dimension de l'espace, je dois donc prouver le caractère libre ET générateur.


J'ai les matrices suivantes
3°) A22

1 -1 0
 -1 1 0
0 0 0

A23

1 0 -1
-1 0 1
0 0 0

A32

1 -1 0
0 0 0
-1 1 0

A33

1 0 -1
0 0 0
 -1 0 1
.
a. Montrer que
A22,A23,A32,A33  est une base de F.

J'ai déjà réussi à montrer la liberté mais j'arrive pas le caractère générateur. Pouvez vous m'aider svp

[L.A.]

Bonsoir,

désolé, on ne pourra pas t'aider sur le caractère "générateur" tant que tu ne nous donneras pas de précision sur F...

[teamprepa]

Bonsoir,

désolé, on ne pourra pas t'aider sur le caractère "générateur" tant que tu ne nous donneras pas de précision sur F...

Dans M3
R, on étudie l’ensemble E des matrices du type A

a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3

telles que :
a1+a2+a3 =b1 +b2 +b3 =c1+c2+c3=a1+b1+c1=a2+b2+c2=a3+b3+c3.
On notera d
(A) la valeur commune de ces 6 sommes.
On aura à utiliser la matrice J

1 1 1
1 1 1
1 1 1
.


2°) a. Montrer que l’application qui à A associe d(
A) est une forme linéaire sur E.
b. On note F=Ker(d) et G=lambda 
J,
lambda appartenant à
R. Etablir que E=F+G (somme directe)



Voila ce que j'ai des questions précédentes

[L.A.]

Dans ce cas, prends A = (a_i,j) dans Ker(d), et vois si tu peux écrire A comme combinaison des 4 matrices

A = b A22 + c A23 + d A32 + e A33.

Les coefficients b,c,d,e sont assez faciles à trouver et la numérotation A22, A23, etc... devrait t'aider.