Algèbre linéaire : Base et rang

[FairyDaisy]

Bonjour, je suis en prépa Bio en 2eme année et j'ai quelques difficultés avec certains exercices. Donc si vous pourriez m'aider à comprendre

Première question
Comment on détermine une base de l'image d'une application, et une base du noyau d'une application. Sachant que l'on a (e1,e2,e3,e4) la base canonique de R4, et que l'on considère l'endomorphisme f de R4 tel que f(e1)=(6,4,0,2) ..

Deuxième question
Quand on a une application du type G(P)= X²P" - XP' + P
On peut montrer comment qu'il s'agit d'un endomorphisme ? Et comment celui ci est bijectif quand on prend la base canonique de R3[X]

Troisième question
Cette fois ci, c'est juste pour savoir comment on détermine la base du noyau de f quand on a l'application. (Ici, dans le cas (x,y,z) donne .. ) et sa dimension.

Je vous remercie.

[XENSECP]

Le noyau c'est toujours + simple à déterminer non ? Vecteur x tel que f(x) = 0 <=> AX = 0 (en matriciel).

Pour la suite, endomorphisme évident puisque si tu as P dans R^n[X] alors XP' aussi (P' est dans R^(n-1)[X] etc.
Pour la bijectivité, prends P(X) = aX^3+bX^2+cX+d, calcule G(P)... ça va te donner une matrice de l'application ?

Pour la base du noyau c'est pas très compliqué mais j'aurais besoin de l'exemple pour te montrer ^^

[Sylviel]

Première question :
Ce n'est pas complètement trivial. L'image d'une base sera une famille génératrice de l'image de l'application linéaire. Il reste à voir quel vecteur est "redondant", (si tu peux obtenir un vecteur par combinaison linéaire des autres alors il n'est pas nécessaire pour générer l'image, et tu peux le supprimer. Puis réitère l'opération). Pour trouver une base du noyau il faut résoudre le système d'équation donné par f(x) = 0.

Seconde question :
Ben pour montrer qu'il s'agit d'un endomorphisme il faut montrer :
- que l'application est linéaire
- que son image est dans R[X]
Pour montrer sa bijectivité de sa restriction à R3[X] il suffit de montrer que l'image d'une base est une base.

Troisième question :
idem, il faut "résoudre l'équation". Pour la dimension soit la résolution, soit le théorème du rang.

[FairyDaisy]

Le noyau c'est toujours + simple à déterminer non ? Vecteur x tel que f(x) = 0 AX = 0 (en matriciel).

Pour la suite, endomorphisme évident puisque si tu as P dans R^n[X] alors XP' aussi (P' est dans R^(n-1)[X] etc.
Pour la bijectivité, prends P(X) = aX^3+bX^2+cX+d, calcule G(P)... ça va te donner une matrice de l'application ?

Pour la base du noyau c'est pas très compliqué mais j'aurais besoin de l'exemple pour te montrer ^^

Merci
Alors l'exemple :
On considère l'application (x,y,z) -> (x-y, 2x-2y+z,z)
1. Montrer que f est linéaire
2. Determiner une base du noyau f ( Là j'ai un problème je trouve quelques chose du genre z=w par exemple.. et non alpha=w (Exemple, j'ai pas ce que j'ai fait sous les yeux.. ))
Quel est la dimensin de Ker(f)
3. Soit (e1,e2,e3) la base canonique de R^3. Determiner le rang du système f(e1),f(e2),f(e3)
En déduire une base de Im(f)

[XENSECP]

Base du noyau :

x-y = 0
2x-2y+z = 0
z = 0

Donc t'as une droite définie par l'intersection de 2 plans : ...?

[FairyDaisy]

On n'a pas encore vu ça. En fait on a fait aucun exo sur le calcul de base du noyau, base de l'image donc j'arrive pas à appliquer.
J'vous remercie beaucoup des explications, ca m'a un peu ouvert. Je comprend pas juste pourquoi on doit passe en calcul matriciel.