Banach

[Anonyme]

Bonjour, encore un exercice sur lequel je bloque...

On donne E= {f E C1([0, 1]) / f(0)=0}
On le muni de la norme ||f||1 = sup |f '(x) |, x E [0, 1]
Montrer que (E, || ||1) est un Banach (evn complet)

Pur la norme c'est bon, mais alors pour montrer qu'il est complet...
J'ai pris une suite de Cauchy et j'essaye de montrer qu'elle converge, mais je n'arrive même pas à montrer qu'elle vérifie le CUC.
Un peu d'aide ne serait pas de trop !!

Merci d'avance

[busard_des_roseaux]

On donne E= {f E C1([0, 1]) / f(0)=0}
On le muni de la norme ||f||1 = sup |f '(x) |, x E [0, 1]
Montrer que (E, || ||1) est un Banach (evn complet)

mais alors pour montrer qu'il est complet...

c'est un fermé de l'espace E , complet pour la norme :we:

le fait que cet espace soit complet pour cette dernière norme
est un thm classique de L1 (convergence uniforme des dérivées..)

[Arkhnor]

Salut.

Montre que la suite est uniformément de Cauchy, donc convergente.
Comme la suite est convergente (car constante), tu disposes en principe d'un théorème dans ton cours qui affirme que la suite converge uniformément vers une fonction dérivable, et dont la dérivée est la limite de

:happy3: