Théorème du point fixe (de Banach)

[ArtyB]

Bonsoir,

Je viens de découvrir le théorème du point fixe (de Banach) mais je n'en comprends pas l'énoncé:

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de |R, à valeurs dans I, contractante.
Alors la suite (U_n) définie par:

converge vers l'unique point fixe l de f appartenant à I.
De plus, pour tout entier naturel n:


Qu'est-ce qu'une fonction contractante ? (On me dit lispchitzienne de rapport k<1 mais je n'ai aucune idée de ce que cela peut bien vouloir signifier)
Quelle est l'utilité de ce théorème ?
Auriez vous un exemple d'application ?

Par avance je vous remercie

[zygomatique]

salut

il est triste dans le supérieur de ne pas savoir faire une recherche sur internet qui donne toutes les définitions et exemples ....

[chombier]

Bonsoir,

Je viens de découvrir le théorème du point fixe (de Banach) mais je n'en comprends pas l'énoncé:

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de |R, à valeurs dans I, contractante.
Alors la suite (U_n) définie par:

converge vers l'unique point fixe l de f appartenant à I.
De plus, pour tout entier naturel n:


Qu'est-ce qu'une fonction contractante ? (On me dit lispchitzienne de rapport k<1 mais je n'ai aucune idée de ce que cela peut bien vouloir signifier)
Quelle est l'utilité de ce théorème ?
Auriez vous un exemple d'application ?

Par avance je vous remercie

Une fonction f est contractante s'il existe k<1 tel que pour tout x, y de Df,
| f(x)-f(y) | < k |x - y|

de mémoire :zen:

[arnaud32]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_du_point_fixe_de_Banach

[ArtyB]

Merci Chombier !

Zygomatique, je sais chercher et je l'ai fait avant de venir demander ici, comme à chaque fois. Si je viens demander ici c'est que je ne comprends pas justement.

J'ai vu la formule vérifiée par une fonction k-lispchitzienne mais je ne la comprends pas justement, je ne vois pas l'intérêt, l'utilité, ni ce que ça veut dire en fait. Parce que | f(x)-f(y) | < k |x - y| je veux bien mais ça veut dire quoi concrètement ? Ca sert à quoi etc ? Je ne comprends pas bien.
En cours nous n'avons jamais vu les fonctions k-lispchitziennes, j'ai trouvé ce que cela voulait dire sur le web mais je ne le comprends pas...

[zygomatique]

géométriquement ça veut dire que la fonction ne grandit pas trop vite, ne varie pas trop vite au voisinage d'un réel

le rapport [f(x) - f(y)]/(x - y) ne te dit rien ?

[ArtyB]

D'accord, merci, c'est la seule utilité/le seul sens du fait qu'une fonction soit k-lipschitzienne ?
Si, en effet ce rapport me fait penser à:

[zygomatique]

donc la dérivée est bornée par k ....

et lorsque k < 1 alors .... ça contracte ...

[ArtyB]

D'accord, je comprends bien mais quelle utilité cela peut il avoir ? Quelle application ?

[zygomatique]

assurer qu'il y a un point fixe ....

assurer que la suite est de Cauchy ....

[ArtyB]

x est un point fixe si f(x)=x, mais quel rapport avec les fonctions k-lipschitziennes ? O.o

[Cauchy2010]

En économie-mathématique, les théorèmes de point fixe (il y en a une ribambelle, surtout quand on fait de la topologie) sont très utiles pour s'assurer qu'un équilibre existe.
Je pense qu'en physique, ce doit être pareil.
L'idée en faisant simple est de s'assurer que l'équation "f(x)=x" admet bien un solution dans l'espace considéré.
La théorie des fractales est née de la recherche informatique de la solution de ce genre d'équation à partir d'un point distinct de la solution, comme .
On part de et on forme la suite
Essayez, c'est assez contre intuitif !

[Sake]

Bonsoir,

Je viens de découvrir le théorème du point fixe (de Banach) mais je n'en comprends pas l'énoncé:

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de |R, à valeurs dans I, contractante.
Alors la suite (U_n) définie par:

converge vers l'unique point fixe l de f appartenant à I.
De plus, pour tout entier naturel n:


Qu'est-ce qu'une fonction contractante ? (On me dit lispchitzienne de rapport k<1 mais je n'ai aucune idée de ce que cela peut bien vouloir signifier)
Quelle est l'utilité de ce théorème ?
Auriez vous un exemple d'application ?

Par avance je vous remercie

Salut,

La "Lipschitziannité" (terme barbare et néologique parodiquement employé par mon ancien prof de sup), c'est un curseur qui va régler les variations de ta fonction. Plus le facteur k est petit, moins ton application ne peut varier "vite". C'est entre autre un critère important de régularité.

En outre, une application linéaire et lipschitzienne est continue, si je n'ai rien oublié d'important.