Axiome d'Archimède et convergence

[Yaxo]

Hello à tous,

Utilisez l'axiome d'Archimède pour démontrer que si a ∈ IR tel que : 0 <= a <= 1/n pour tout n>= 1, alors a = 0

Qu’est-ce que l’aciome d’Archimède ? Comment l’utiliser pour cette question ?

[hdci]

Je ne connaissais pas la dénomination "axiome d'archimède", mais la propriété " est un corps archimédien", c'est-à-dire, pour tout réels strictement positifs et , il existe un entier naturel tel que .

On peut alors utiliser cela en raisonnant par l'absurde, avec et

[Yaxo]

Où est l'absurdité ?

[LB2]

Tu raisonnes pas l'absurde en supposant qu'un tel a existe et qu'il est strictement positif. C'est à dire que pour tout entier non nul n, 0<a<=1/n (*)
Or, par la propriété d'Archimède, il existe un entier naturel p tel que a*p>1
Mais alors, comme a>0, on obtient a>1/p : ce qui contredit (*) : c'est absurde
Conclusion : un tel a est forcément égal à 0.

[Yaxo]

Merci