Arithmétique diviseur premiers

[Judicael]

Bonjour à tous,

Je fais des questions de mathématiques et la première me pose déjà pas mal de soucis depuis ce matin:

"Montrer par récurrence que tout entier n>=2 est divisible par au moins un nombre premier"

En fait je n'arrive pas à le montrer en utilisant l'hypothèse de récurrence.
J'ai fais une démonstration par l'absurde, mais je ne sais pas si elle est correcte/rigoureuse.

Soit n un nombre positif plus grand ou égal à 2 (donc on suppose n fini)

On suppose que ce nombre n'admet aucun diviseur premier.
Ce nombre est alors impair (car sinon il est divisible par 2 qui est un nombre premier), tous ses diviseurs sont impairs et ne sont pas premiers. On suppose aussi qu'il n'est pas premier.

Comme n n'est pas premier, n admet deux diviseurs et qui sont impairs et ne sont pas premiers. Donc, non seulement ces deux nombres sont plus grands ou égaux à 15 mais en plus ils admettent eux mêmes deux diviseurs, on peut alors décomposer n comme n =
On itère ainsi de suite et on obtient n = avec
Donc ce qui n'a pas de sens car n est un nombre entier, il est donc fini.
D'où le fait que la proposition de départ est bonne.

J'aimerais savoir si ma démonstration a un sens et le cas échéant pourriez vous aiguiller un petit peu mon raisonnement s'il vous plaît

Merci beaucoup à vous!

[Rdvn]

Bonjour
La récurrence est facile, mais si on ne souhaite pas passer par là :
Pour n entier, n>ou=2
si n n'est pas premier, il existe des entiers a et b tels que
n=a.b , avec 1<a<ou=b<n;
Donc il existe a' , le plus petit des entiers a tels que ceci
A démontrer : a' est premier
bon courage

[Judicael]

Bonjour Rdvn,

Merci beaucoup pour ton indication.
Je vais essayer d'utiliser ton raisonnement direct + la récurrence

Est-ce que tu sais toutefois si mon raisonnement par l'absurde tient la route?

merci beaucoup

[Rdvn]

Franchement je n'ai pas trop revu votre raisonnement, par manque de temps.
Une chose me parait certaine : c'est d'une complication excessive, avec un passage à la limite...
La récurrence ou la solution que je vous ai suggéré sont considérablement plus simple.
Bon courage
PS
k impair, k>1,k non premier
k>ou=9, pas 15, mais ça ne change rien

[Judicael]

oui, ça me paraît peu rigoureux mais je n'arrive pas à formaliser mes idées.
ah oui effectivement k>=9, merci
je vais essayer la récurrence

[GaBuZoMeu]

Soit un entier supérieur ou égal à . On suppose que pour tout entier tel que , a un diviseur premier. Alors a un diviseur premier.
En effet :
- Ou bien est premier : terminé.
- Ou bien n'est pas premier, et il a donc un diviseur tel que et . Par hypothèse de récurrence, a un diviseur premier, qui est aussi un diviseur premier de .
On a ainsi démontré que tout entier supérieur ou égal à 2 a un diviseur premier.

Variante :
Supposons qu'il existe au moins un entier supérieur ou égal à 2 qui n'a aucun diviseur premier. Soit le plus petit de ces entiers. Alors
- Ou bien est premier : absurde.
- Ou bien a un diviseur tel que . Alors forcément a un diviseur premier, et donc aussi : absurde.

[Judicael]

Aaaah zut, dans mon hypothèse de récurrence je supposais seulement qu'un entier était divisible par au moins un nombre premier et je voulais montrer que le suivant aussi.. Je me disais bien qu'il manquait cruellement des données. C'est vrai qu'en posant bien l'hypothèse de récurrence ça roule comme sur des roulettes ^.^ Merci beaucoup à toi pour ta réponse GaBuZoMeu ^.^

Au fait, est-ce que quelqu'un pourrait me dire si ma démonstration tient la route ou non? J'ai osé mélangé de l'analyse à de l'arithmétique, je sens avoir profané quelque chose, mais j'aimerais bien avoir un avis pour m'améliorer dans mes démonstrations si quelqu'un le peut bien, merci énormément

Bonne soirée tout le monde!

[GaBuZoMeu]

Ce qu'on peut reprocher à ta démonstration, ce n'est pas de mélanger arithmétique et analyse, mais plutôt de manquer de clarté : par exemple, d'où sort ce 15 ? Pourquoi insister sur la parité ?
Tu aurais pu démontrer, par récurrence sur , que pour tout entier naturel , tout nombre entier supérieur ou égal à 2 qui n'a pas de diviseur premier est produit de entiers supérieurs ou égaux à 2 qui n'ont pas de diviseur premier.

[Rdvn]

@Judicael
Comme suite à ma première réponse:
rassurez vous, la profanation n'existe pas en math
(surtout pas en assemblant différents chapitres)
mais il me semblait intéressant de vous orienter vers une solution plus simple,
plus "minimaliste".
La solution que je vous avait laissé à finir n'utilise pas la récurrence
et presque pas le raisonnement par l'absurde
(raisonnement par l'absurde sur la primalité de a' mais non sur son existence)
Bon courage pour la suite

[Judicael]

@GaBuZoMeu: Effectivement! C'est vrai, merci beaucoup à toi GaBuZoMeu.

@Rdvn: D'accord, je comprends mieux vous avez raison. Merci beaucoup à toi Rdvn

[GaBuZoMeu]

Avec plaisir.