DM - Arccos, arcsin, et f(ab)

[Lostounet]

Bonjour,

J'ai un peu de mal pour l'exo 3 de mon DM:

On note gamma l'ensemble des fonctions à valeurs dans R, définies et dérivables sur ]0 ; +infinity[
telles que:

f(ab) = af(b) + bf(a)

a,b>0

1) Soit f dans gamma
(a) Déterminer f(1)
(b) Démontrer que xf'(x) - f(x) = xf'(1)

(c) En déduire que f est de la forme k*g avec g une application que l'on précisera

2) Démontrer que gamma = {k*g| k dans R}

Merci de votre aide :)

Pour la 1, j'ai essayé d'exprimer différemment f(1) (en fonction de a et de b) mais ça ne m'a pas beaucoup aidé...

[chan79]

Pour la 1, j'ai essayé d'exprimer différemment f(1) (en fonction de a et de b) mais ça ne m'a pas beaucoup aidé...

salut
si on remplace a et b par 1, on trouve f(1)=0

[Lostounet]

Prenons donc a = b = 1

f(1) = f(a) + f(b)
f(1) = 2f(1)

f(1) = 0 ?

[Lostounet]

Pour la deuxième question:

f'(ab) = af'(b) + bf'(a)

xf'(ab) = axf'(b) + xbf'(a)

xf'(ab) - f(x) = axf'(b) + xbf'(a) - af(b) - bf(a)

a[xf'(b) - f(b)] + b[-xf'(a) - f(a)]

= Heu..

[chan79]

f(ax)=af(x)+xf(a)
on dérive par rapportà x
af'(ax)=af'(x)+f(a)
Remplace a par x et x par 1

[Lostounet]

!!!

xf'(x) = xf'(1) + f(x)

Comme f'(1) est nul, on a:

f(x) = xf'(x)

J'ai l'impression que f est une fonction linéaire, mais je ne saurais le montrer proprement...

[chan79]

!!!

xf'(x) = xf'(1) + f(x)

Comme f'(1) est nul, on a:

f(x) = xf'(x)

J'ai l'impression que f est une fonction linéaire, mais je ne saurais le montrer proprement...

c'est f(1) qui est nul

[Lostounet]

Et aussi f'(1) non?

[jlb]

2) xf'(x)-f(x)=x²(f(x)/x)' et après tu en déduis l'expression de f

[chan79]

Et aussi f'(1) non?

il n'y a pas de raison
Résouds l'équa diff xf'(x) - f(x) = xf'(1)

[Lostounet]

Nous n'avons toujours pas vu les équations différentielles en cours :/

[chan79]

Nous n'avons toujours pas vu les équations différentielles en cours :/

alors, suis la démarche proposée par jlb

[jlb]

Nous n'avons toujours pas vu les équations différentielles en cours :/

Utilise ma remarque!!! Tu auras seulement à chercher une primitive simple.

[Lostounet]

Utilise ma remarque!!!

Excuse-moi Jlb, je n'avais pas vu ta réponse plus haut !

En remarquant que :
x^2* (f(x)/x)' = xf'(x) - f(x) = xf'(1)

Peut-on alors dire que:

x^2 * (f(x)/x)' = xf'(1)

Faut-il intégrer les deux membres? Car on veut une relation liant f et f(1) que l'on connait...

[jlb]

Excuse-moi Jlb, je n'avais pas vu ta réponse plus haut !

En remarquant que :
x^2* (f(x)/x)' = xf'(x) - f(x) = xf'(1)

Peut-on alors dire que:

x^2 * (f(x)/x)' = xf'(1)

Faut-il intégrer les deux membres? Car on veut une relation liant f et f(1) que l'on connait...

x>0 donc déjà simplifie par x² et après tu intègres les deux membres sans oublier la constante( qui vaut 0 en utilisant f(1)=0)

[chan79]

Excuse-moi Jlb, je n'avais pas vu ta réponse plus haut !

En remarquant que :
x^2* (f(x)/x)' = xf'(x) - f(x) = xf'(1)

Peut-on alors dire que:

x^2 * (f(x)/x)' = xf'(1)

Faut-il intégrer les deux membres? Car on veut une relation liant f et f(1) que l'on connait...

la dérivée de f(x)/x est f'(1)/x donc ...

[Lostounet]

(f(x)/x)' = f'(1)/x

(f(x)/x)' = f'(1)/x

Le membre de droite est le produit de 1/x et de f'(1), de la forme uv'... S'agit-il d'une intégration par parties.. Je trouve des ln..

la dérivée de f(x)/x est f'(1)/x donc ...

Donc f(x)/x est une primitive de f'(1)/x ...

f(x)/x + c = f(x)/x O_o

[jlb]

(f(x)/x)' = f'(1)/x

(f(x)/x)' = f'(1)/x

Le membre de droite est le produit de 1/x et de f'(1), de la forme uv'... S'agit-il d'une intégration par parties.. Je trouve des ln..

f'(1) est une constante, tu as à intégrer k.(1/x) avec k constante.

tu as donc f(x)/x = f'(1).prim(1/x) + c

[Lostounet]

Pourquoi f'(1) est une constante?
f(1) = 0, donc f'(1) est une constante? L'argument est valable?

[jlb]

(f(x)/x)' = f'(1)/x

Le membre de droite est le produit de 1/x et de f'(1), de la forme uv'... S'agit-il d'une intégration par parties..NON, forme constante fois une fonction Je trouve des ln..



Donc f(x)/x est une primitive de f'(1)/x ...OUI

f(x)/x = f'(1)..... + constante ( c'est plus pratique comme cela)

f'(1) c'est un nombre fixé! cela ne varie pas, non?