Arccos (ou arcsin)

[Tsunamy]

Bonjour !

J'ai une petite question toute bête et toute simple concernant les ensembles de départ de d'arrivé de la fonction arccos(x) ou (arcsin(x), peu importe)

La fonction x --> cos(x) est une bijection de l'intervalle [0,;)] sur [-1,1].
La fonction x --> arccos(x), qui est la réciproque de cos(x) est donc une bijection de l'intervalle [-1,1] sur [0,;)]

Ca, ce sont les [url=(url=http://adresse du lien)(/url)]représentations classiques graphiques[/url] des fonctions cos et arccos.

Or, cos est en réalité définie sur R à valeurs dans [-1,1]. La fonction x --> arccos, en tant que réciproque, serait donc définie dans l'intervalle [-1,1] à valeurs dans R.

Donc deux possibilités :

1) Soit arccos est à valeurs dans R. Pourquoi donc la fonction cosinus bénéficierait d'un traitement de faveur et aurait le droit d'être représentée en entier, contrairement à la fonction arccos ? (Ca me parait tout de même peu probable ^^)
2) Soit, une grosse subtilité m'a échappée. Une subtilité qui expliquerait que l'intervalle d'arrivée d'arccos ne s'étende pas au delà de [-1,1] (et donc que le raisonnement sur les intervalles et la réciprocité ne puisse s'appliquer qu'en cas de fonctions bijectives, dans ce cas, pourquoi ? La fonction cos est 2pi périodique. Pourquoi arccos ne serait-elle pas, elle aussi, périodique ?

Thanks ! :jap:

[adrien69]

Salut,
Si tu ne restreins pas le domaine de définition de cosinus elle n'est tout bonnement pas bijective. Donc arccos n'est plus une fonction (mais une fonction multivaluée, je dis ça pour ta culture mais en vrai on s'en fout). Donc c'est mort.

[adrien69]

D'ailleurs si tu devais prolonger la fonction arccos, comment le ferais-tu ?

[Tsunamy]

Oui, je sais qu'elle n'est plus bijective lorsqu'on étend la fonction cos à R, mais ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi, "c'est mort" comme tu dis ? En quoi la non bijectivité de cos sur R empêche de faire le raisonnement que j'ai fait dans mon premier post ?

Si je devais prolonger arccos, ce serait la même courbe que la fonction cosinus, mais sur l'axe des ordonnées.

[adrien69]

Mais ce ne serait plus une fonction.

[Tsunamy]

Impossible d'avoir plusieurs ordonnées pour une abscisse sauf en cas de droites verticales ? (et en cas de fonctions multivaluées ;) !)

En fait tu as raison, c'est tout bête >< ! Je me suis pris la tête pour rien alors que c'était évident ! Mais c'est vrai qu'instinctivement, j'aurais aimé que la fonction réciproque de cos lui ressemble un peu plus :p

Donc du coup, une dernière question :

f(x) définit sur I à valeurs dans J
f^-1(x) définit sur J à valeurs dans I

Seulement si f est bijective ? c'est ça ?

[adrien69]

En fait si f est injective sur I, f^-1 est définie sur f(I) vers I.

[Tsunamy]

Parfait, merci !

[Robic]

Remarque : tu aurais tout à fait le droit de définir un arc cosinus sur un autre intervalle (du moment qu'il y ait la bijectivité). Par exemple la fonction cosinus est bijective de [;) ; 2;)] vers [-1 ; 1] donc on peut très bien définir un arc cosinus de [-1 ; 1] vers [;) ; 2;)]. D'ailleurs c'est pour ça qu'on parle de détermination principale de l'arc cosinus (qu'autrefois on notait Arccos) puisqu'il y a en fait une infinité de déterminations possibles (autrefois notées arccos).

[Tsunamy]

Oui, ça parait assez évident, mais c'est très utile de voir ce que ça donne !
Tout est clair grâce à vous deux ! Merci :)