Arc paramétré

[mj4]

Bonjour, j'ai un exercice à faire, j'en ai réussi une partie pourriez vous vérifier si c'est juste, pour que je puisse réfléchir sur la suite?

Voici l'énoncé:
1) étudier la courbe définie par:
x(t)=cos3(t)
y(t)= sin(t) * (2cos2(t) +1)/2

2) vérifier que:
-le cercle unité est tangent à la courbe
-les droites d'équations (x=2/2) et (y=-2/2) sont tangentes en deux points à la courbe
-les droites d'équations (y=-(x+1)/3) et (y=(x-1)/3) sont tangenets en un point de la courbe
pourriez vous me donner quelques pistes ou indices?


Voici mes réponses:
1)x et y sont 2Pi périodique et
x(t+Pi)=-x(t)
y(t+Pi)=-y(t)
et
x(-t)=x(t)
y(-t)=-y(t)

donc De=[0;Pi/2] suivi d'une symétrie par rapport à l'axe Ox, suivi d'une symétrie par rapport à l'origine du repère O

j'ai fait un tableau de variation:
-pour t=0 on a x'(0)=0 x(0)=1 y(0)=0 y'(0)=3/2
-pour t=Pi/4 on a x'(Pi/4)=-3(racine de 2)/4 x(Pi/4)=(racine de 2)/4 y(Pi/4)=(racine de 2)/2
y'(Pi/4)=0
-pour t=Pi/2 on a x'(Pi/2)=0 x(Pi/2)=0 y(Pi/2)=1/2 y'(Pi/2)=0

il n'y a pas de points doubles, un point singulier en Pi/2,
en t=0 tangente verticale
en t=Pi/4 tangente horizontale
en t=Pi/2 forme indéterminée, mais je n'arrive pas à la lever

par contre pour la question 2 je bloque

Merci d'avance

[Black Jack]

2) vérifier que:
-le cercle unité est tangent à la courbe

Une manière parmi d'autres :

Le cercle unité a pour équation x² + y² = 1

Les points de rencontre de ce cercle avec C (représentant la courbe donnée) sont donc pour les valeurs de t tel que :
x²(t) + y²(t) = 1

En dévellopant cette relation, tu devrais arriver à montrer que les seuls points de rencontre sont pour cos(t) = +/- 1 (et donc pour sin(t) = 0), soit donc aux points de coordonnées (-1 ; 0) et (1 ; 0)

Les tangentes au cercle unité en ces points sont // à l'axe des y.

Il suffit alors de montrer que dy/dx de la courbe est infinie aux points correspondants.

dy = (....) dt
dx = (....) dt

dy/dx = ... (en fonction de t)

Et pour les points correspondant à cos(x) = +/- 1 et sin(x) = 0, tu devrais trouver dy/dx = oo

:zen:

[mj4]

D'accord, merci beaucoup, mais je n'arrive pas à développer et factoriser x² + y² = 1
en remplacant par l'expression de x(t) et y(t)

et après dy(t)= (3/2) * (cos(t) * cos(2t)
et
dx(t)= -3 cos² (t) * sin(t)

mais en calculant la limite en 0 de dy/dx j'obtiens + l'infini car x' tend vers 0 et y' tend vers 3/2

Merci d'avance

[Black Jack]

D'accord, merci beaucoup, mais je n'arrive pas à développer et factoriser x² + y² = 1
en remplacant par l'expression de x(t) et y(t)

et après dy(t)= (3/2) * (cos(t) * cos(2t)
et
dx(t)= -3 cos² (t) * sin(t)

mais en calculant la limite en 0 de dy/dx j'obtiens + l'infini car x' tend vers 0 et y' tend vers 3/2

Merci d'avance

x(t)=cos³(t)
y(t)= sin(t) * (2cos²(t) +1)/2


x² + y² = 1
cos^6(t) + sin²(t).(2cos²+1)²/4 = 1
cos^6(t) + sin²(t).(4cos^4(t)+1+4.cos²(t))/4 = 1
cos^6(t) + (1-cos²(t)).(4cos^4(t)+1+4.cos²(t))/4 = 1
cos^6(t) + (1-cos²(t)).(cos^4(t) + 1/4 + cos²(t)) = 1

Developpe et simplifie ...
Tu devrais arriver à cos²(t) = 1
...


"mais en calculant la limite en 0 de dy/dx j'obtiens + l'infini car x' tend vers 0 et y' tend vers 3/2"

Et bien tant mieux, qu'est ce que cela signifie ?

:zen:

[mj4]

d'accord, merci beaucoup, je suis en train de faire le calcul, et cela signifie que j'ai une tangente vertical au point de coordonée (1;0)

et pourriez vous me donner des indices pour la suite?
2) vérifier que:
-les droites d'équations (x=racine(2)/2) et (y=-racine(2)/2) sont tangentes en deux points à la courbe
-les droites d'équations (y=-(x+1)/racine(3)) et (y=(x-1)/racine(3)) sont tangenets en un point de la courbe
pourriez vous me donner quelques pistes ou indices?

Merci d'avance

[mj4]

et je viens de finir de développer et je retombe bien sur cos(t) =+- 1

Merci beaucoup

[Black Jack]

d'accord, merci beaucoup, je suis en train de faire le calcul, et cela signifie que j'ai une tangente vertical au point de coordonée (1;0)

et pourriez vous me donner des indices pour la suite?
2) vérifier que:
-les droites d'équations (x=racine(2)/2) et (y=-racine(2)/2) sont tangentes en deux points à la courbe
-les droites d'équations (y=-(x+1)/racine(3)) et (y=(x-1)/racine(3)) sont tangenets en un point de la courbe
pourriez vous me donner quelques pistes ou indices?

Merci d'avance

Il y a un erreur d'énoncé dans la parie en rouge.

Pour moi, cela devrait devenir :

-les droites d'équations (y=racine(2)/2) et (y=-racine(2)/2) sont tangentes en deux points à la courbe.

Il suffit de trouver les points de rencontre de la courbe C avec par exemple la droite d'équation y = V2 /2

... Et de montrer qu'en ces points, le dy/dx = 0 '(tangente horizontale).

:zen:

[mj4]

D'accord, merci beaucoup je vais essayer

[mj4]

par contre en faite j'ai encore une question pour le cercle unité, pourquoi on doit montrer que les tangentes aux points de rencontre du cercle et de la courbe de coordonées (-1;0) et (1;0) sont verticale

Merci d'avance

[Black Jack]

par contre en faite j'ai encore une question pour le cercle unité, pourquoi on doit montrer que les tangentes aux points de rencontre du cercle et de la courbe de coordonées (-1;0) et (1;0) sont verticale

Merci d'avance

On peut montrer que la courbe C et le cercle unité d'équation x² + y² = 1 ont pour seuls points communs les points de coordonnées (-1 ; 0 ) et (1 ; 0)

Dessine ce cercle unité et poses-toi la question de savoir quelle est la direction des tangentes à ce cercle aux points de coordonnées (-1 ; 0 ) et (1 ; 0)
Elles sont évidemment "verticales" ou plus exactement // à l'axe des ordonnées du repère.

Si C et le cercle unité sont tangents, alors C et le cercle ont les mêmes tangentes aux points de coordonnées (-1 ; 0 ) et (1 ; 0)

:zen:

[mj4]

d'accord, merci beaucoup

[mj4]

et encore une dernière quetsion, ma courbe à bien cette tête là ?
j'ai insérer le lien:

http://www.google.fr/imgres?q=n%C3%A9phroide&um=1&hl=fr&sa=N&rlz=1W1ADFA_frFR435&biw=1024&bih=540&tbm=isch&tbnid=ylix2ezpC1idMM:&imgrefurl=http://cyrille.nathalie.free.fr/math/mathcurve/nephroid.shtml.htm&docid=fZQhMn6Fw2bgRM&itg=1&imgurl=http://cyrille.nathalie.free.fr/math/mathcurve/nephroid0a.gif&w=294&h=209&ei=kn6uTpziEMP0sgaN85XzBw&zoom=1&iact=rc&dur=109&sig=106850728728302739226&page=3&tbnh=147&tbnw=207&start=16&ndsp=8&ved=1t:429,r:0,s:16&tx=175&ty=107

Merci d'avance

[Black Jack]

et encore une dernière quetsion, ma courbe à bien cette tête là ?
j'ai insérer le lien:

http://www.google.fr/imgres?q=n%C3%A9phroide&um=1&hl=fr&sa=N&rlz=1W1ADFA_frFR435&biw=1024&bih=540&tbm=isch&tbnid=ylix2ezpC1idMM:&imgrefurl=http://cyrille.nathalie.free.fr/math/mathcurve/nephroid.shtml.htm&docid=fZQhMn6Fw2bgRM&itg=1&imgurl=http://cyrille.nathalie.free.fr/math/mathcurve/nephroid0a.gif&w=294&h=209&ei=kn6uTpziEMP0sgaN85XzBw&zoom=1&iact=rc&dur=109&sig=106850728728302739226&page=3&tbnh=147&tbnw=207&start=16&ndsp=8&ved=1t:429,r:0,s:16&tx=175&ty=107

Merci d'avance

Oui, elle a cette tête là ...

:zen:

[mj4]

D'accord, merci beaucoup votre aide et
Bonne continuation