Approximation de la loi Binomiale

[barbu23]

Bonjour à tous,
Qu'est ce qui différencie l’approximation de la loi binomiale par la loi normale, et l'approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson.
Ma question est donc de savoir quant est ce que on utilise l'une et quant est ce on utilise l'autre.
Merci d'avance.

[DamX]

Bonjour à tous,
Qu'est ce qui différencie l’approximation de la loi binomiale par la loi normale, et l'approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson.
Ma question est donc de savoir quant est ce que on utilise l'une et quant est ce on utilise l'autre.
Merci d'avance.

Bonjour,

Il n'y a pas de règle, je dirais tout dépend ce que tu veux faire de ton approximation et quelles contraintes tu as sur ta variable aléatoire.

Généralement la gaussienne va être plus "tractable", rendre les calculs ultérieurs probablement plus simple, mais selon les cas particuliers peut-être que la loi de Poisson sera mieux.

De plus la gaussienne est symétrique, tout comme la loi Binomiale, ce qui n'est pas le cas de la loi de poisson.

En revanche, si la loi binomiale est positive, ce n'est pas le cas de la gaussienne, après selon le contexte ce n'est pas forcément très "grave" si la queue dépasse dans les négatifs, mais si les calculs ultérieurs ne peuvent soutenir une quelconque négativité, la poisson elle aussi positive sera la seule possibilité entre les deux.
Egalement, la gaussienne est à support continu contrairement aux deux autres qui sont à support discret. Donc assimiler la loi binomiale à une gaussienne implique de continuer avec une variable continue alors que le problème initiale était une variable discrète, ce qui peut ne pas être souhaitable.

Les deux lois se comportent assez bien par additivité donc pas de différence sur ce point (deux gaussiennes indépendantes donnent une gaussiennes, deux poissons indépendantes donne une poisson)

Par ailleurs, et ça vaut pour les deux, il faut bien choisir par rapport à quoi on approxime, généralement on égalise les premiers moments (autant de moments qu'on a de paramètres). Mais ensuite les calculs seront "fiables" tant qu'ont reste dans des calculs dérivant peu ou prou des moments en question. Si l'on veut par exemple faire des calculs ensuite juste sur la queue à droite de la loi, les approximations réalisées comme cela, quelle que soit la loi retenue, seront probablement très faux.

Bref tout dépendra du contexte et des caractères de la loi qui sont les plus importants dans ton problème (symétrie de la loi, positivité, simplicité des calculs, etc)


Damien

[beagle]

"En pratique, on remplace la loi binomiale par une loi de Poisson dès que n > 30 et np 50 et p < 0.1."
"Lorsque n tend vers l'infini et que simultanément pn tend vers 0 de sorte que lim n(pn) = a sup0, la loi binomiale de paramètres n et (pn) converge vers la loi de Poisson de paramètre a."
dixit wiki loi binomiale:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_binomiale