[MPSI MPSI] Applications

[Anonyme]

Bonjour à la communauté des mathématiciens, pouvez vous m'aidez à
répondre à ce probléme je vous en remercie par avance et à bientot ...

SOit f une application de E dans F, A c E et B c F Montrer que
f(A inter f^-1(B)) = f(A) inter B

Je pense que pour résoudre ce probleme il faut montrer que
f(A inter f^-1(B)) c f(A) inter B.
Montrons l'inclusion opposée : si y apprt à f(A) inter B alors il
existe x apprt à A tel que y = f(x).
Qu'en pensez vous, toute aide sera la bienvenue, merci.

[Anonyme]

> Bonjour à la communauté des mathématiciens, pouvez vous m'aidez à
> répondre à ce probléme je vous en remercie par avance et à bientot ...
>
> SOit f une application de E dans F, A c E et B c F Montrer que
> f(A inter f^-1(B)) = f(A) inter B
>
> Je pense que pour résoudre ce probleme il faut montrer que
> f(A inter f^-1(B)) c f(A) inter B.

Pas seulement, dans ce cas là tu n'a qu'un coté de l'inclusion et il te faut
les 2 pour l'égalité !
donc le cas que tu voulais traiter :
soit x dans f(A inter f^-1(B)) ie x est dans l'image par f de A inter
f^-1(B)
or f^-1(B) est l'ensemble des éléments z tel qu'il existe un y tq z=f(y)
soit dans B
donc on a : il existe y dans A inter f^-1(B) tel que f(y) = x, ici on peut
déjà affirmer que x appartient a f(A)
et il existe z dans B tel que f(y) = z, donc x=f(y)=z et x appartient a B.

maintenant il te faut montrer l'autre inclusion qui est : f(A) inter B c
f(A inter f^-1(B))
soit x appartenant a f(A) inter B, on a : x appartient a f(A) et x
appartient a B
donc il existe y dans A tel que f(y)=x, donc f(y) appartient a B (car f(y) =
x)
donc y appartient a f^-1(B) parce que y est envoyé dans B par f.
d'ou y appartient a A inter f^-1(B) et x appartient donc a f(A inter
f^-1(B))

> Montrons l'inclusion opposée : si y apprt à f(A) inter B alors il
> existe x apprt à A tel que y = f(x).
> Qu'en pensez vous, toute aide sera la bienvenue, merci.

[Anonyme]

Je remercie vivement "moufle" pour la justesse de ses explications, encore merci et à bientot ...